利用余数定理进行因式分解深圳市外国语学校苏永潮因式分解是多项式运算中很重要的一个环节，在初中，我们彻底解决了二次函数的因式分解，那么对于高次多项式的因式分解，又该如何进行呢？本文介绍一个比较简单的手段。基本技能：长除法我们看一个简单计算132÷11将上式中的132替换成，11替换成，则有用替换上式中的10，就可以得到这就是长除法，我们这里以实战为主，就不介绍其中的理论了。称为被除式，为除式，为商式，0为余数例1、计算：解：所以，注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。定理1、余数定理我们还是先看一个长除法：通过如例1所展示的方法，我们可以得到记被除式，商式，余数则代入，可以得到，即被除的余数为一般地，多项式被除，所得的余数为，把这个结论拓展我们可以得到：余数定理多项式被除，所得的余数为例2、求被下列各式所除得的余数1)2)3)解：令则1）被除所得的余数为2）被除所得的余数为3）被除所得的余数为定理2、因数定理我们来观察被除所得的余数。记则余数换言之，是的因式推广到一般情形，我们可以得到因数定理是的因式利用这个定理，我们可以进行高次式的因式分解例4、若恰好能被整除，被除余数为4，求，并将多项式进行因式分解。解：记，则代入得解得所以由于必有因式，设其商式为则比较系数可以得到解得即例5、因式分解解：记（考虑到为三次式，因此可能分解为，其常数项为，因此为4的因子）因为4的因子有，所以为其一个因子（对于其他因式，有三个方法求）法一、试错法。不是因子是因子是因子所以法二、长除法。所以法三、比较系数法。设，则所以即小结：用因数定理分解因式，在求出一个因式后，其他因子可以有以上三种方法。例7、解方程解：记6的因子有是一个因子由长除法得所以方程的根为例8、设多项式有一个因子，且被除时余数为，求，并将多项式进行因式分解解：记则解得练习1、因式分解1）2）3）4）2、解方程1）2）3）4）
