1 / 12 §3.2立体几何中的向量方法(二) ——利用向量方法求角知识点一求异面直线所成的角已知平行六面体ABCD — A 1B1C1D 1 的所有棱长都是1，且∠ A 1AB ＝∠ A 1AD＝∠ BAD ＝60° ，E、F 分别为 A 1B1 与 BB 1 的中点，求异面直线BE 与 CF 所成角的余弦值．解如图所示，解 如图所示，设AB= a，AD= b，1AA= c.则| a | = | b | = | c | =1，〈 a,b 〉=〈b,c〉 =〈a,c 〉= 60,∴a·b = b·c = a·c = 12，而BE=1BB+1B E= 12a + c.CF= CB + BF= b + 12c,∴|BE | ＝14|a|2＋|c|2－a·c ＝32 ，| CF | ＝32 . ∴ BE · CF＝ －12a＋c · －b＋12c＝12a·b－14a·c－b·c＋ 12c2＝18，cos〈 BE ， CF 〉＝BECFBECF= 16 ,2 / 12 ∴异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是16. 【反思感悟】在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 正方体 ABCD — A 1B 1C1D1 中， E、F 分别是 A1D 1、A 1C1 的中点．求：异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值．解不妨设正方体棱长为2，分别取DA 、DC 、DD 1 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0) 、C(0,2,0) 、E(1,0,2)、 F(1,1,2)，由 AE ＝(－1,0,2)，CF ＝(1，－ 1,2)，得 | AE | ＝5，|CF | ＝6. ∴AE ·CF ＝－ 1＋0＋4＝ 3. 又AE ·CF= | AE |·|CF |·cosAE ,CF 〉=30 cos〈 AE ,CF 〉,∴cosAE ,CF 〉=3010,∴异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为3010知识点二求线面角正三棱柱 ABC — A 1B 1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求 AC 1与侧面 ABB 1A 1所成的角．解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) ，B(0 ，a,0)，3 / 12 A 1(0,0，2a)，C1 －32 a，a2，2a ，取 A 1B 1 中点 M ，则 M 0，a2，2a ，连结 AM 、MC 1，有1MC ＝ －32 a，0，0 ， AB ＝(0， a,0)，1AA ＝(0,0，2a)，由于1MC ·AB = 0 ，1MC ·1AA = 0 ，∴MC1⊥面ABB1A1.∴∠C1AM是 AC1与侧面 A1B 所成的角θ . 1AC = －32 a，a2，2a , AM ＝ 0，a2，2a ，∴1AC · AM ＝0＋a24 ＋2a2＝9a24 . 而|1AC | ＝3a24 ＋ a24 ＋2a2＝3a，| AM |＝a24 ＋2a2＝32a，∴cos〈1AC, AM 〉＝9a243a×3a2＝3...
