第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C由参数方程的形式给出：)()()(tzztyytxx，),(t．设),(,10 tt，)(),(),((000tztytxA、))(),(),((111tztytxB为曲线上两点，BA，的连线 AB 称为曲线C 的割线，当AB时，若 AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点 A 的切线．如果)()()(tzztyytxx，，对于 t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为当AB时，0tt，割线的方向向量的极限为)(),(),(000tztytx，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000tztzztytyytxtxx．过 点)(),(),((000tztytxA且 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 空 间 的 曲 线C在 点)(),(),((000tztytxA的法平面，法平面方程为如果空间的曲线C由方程为且)(),(0'0'xzxy存在，则曲线在点)(),(,(000xzxyxA的切线是法平面方程为如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组确定时， 假设在),,(000zyxA有0),(),(AzyGFJ，在),,(000zyxA某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组0),,(0),,(zyxGzyxF，在点),,(000zyxA附近能确定隐函数有)(),(0000xzzxyy，),(),(1,),(),(1xyGFJdxdzzxGFJdxdy。于是空间的曲线C在点),,(000zyxA的切线是即法平面方程为类似地，如果在点),,(000zyxA有0),(),(AyxGF或0),(),(AxzGF时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。所以，当向量时，空间的曲线C在),,(000zyxA的切线的方向向量为r例 6.32 求曲线bzayax,sin,cos在点ba ,0,处的切线方程．解 当时，曲线过点ba,0,，曲线在此点的切线方向向量为babaa,,0|,cos,sin，所以曲线的切线方程为btzzatyytxx)()(0)(000．即bbzayax0．二、空间曲面的切平面与法线设曲面 S 的一般方程为取),,(0000zyxP为曲面 S上一点，设),,(zyxF在),,(0000zyxP的某邻域内具有连续偏 导 数 ， 且0),,(),,(),,(000200020002zyxFzyxFzyxFzyx。 设 c 为 曲 面 S 上 过),,(0000zyxP的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000tzztyytxx，我们有上式对 t 在0tt求导得到因此，曲面 S 上过),,(0000zyxP的任意一条光滑曲线c 在),,(0000zyxP点的切线都和向量垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面 S 在),,(0000zyxP的切平面，向量n称为法向量。 S 在),,(0000zyxP的切平面方程是过点),,(0000zyxP且与切平面垂直的直线称为曲面S 在),,(0000zyxP...
