111 第 5 章 线性代数的基本运算本章学习的主要目的：1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识 . 2 学会用 MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行 列 式5.1.1 n 阶行列式定义由2n 个元素),,2,1,(njiaij组成的记号D=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为 n 阶行列式 .其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积nnp2p21p1aaa的代数和 ,各项的符号由n 级排列nppp21决定 ,即112 D=npppnppp21nnp2p21p1)21(aaa)1(, 其 中nppp21表 示 对所有n 级 排 列求和 , ),,,(21nppp是 排列nppp21的逆序数 . 5.1.2 行列式的性质(1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同 ,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列 )中所有的元素都乘以同一数k,等于用数 k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即nnnnninniinnnnninniinnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21'21'22221'112112121222211121121'21'222221'111211(7) 若行列式的某一行(列 )的各元素乘以同一数加到另一行(列 )对应的元素上去,行列式不变 . 113 (8) 行列式等于它的任一行(列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即),,2,1(,0,1jknikikiDAaDnjij, 或),,2,1(,0,1injkjkjDAaDnikij(9) 设 A,B 是 n 阶方阵 ,则TAA,AAnkk,BAAB, (10) 若 A 是 n 阶可逆矩阵 ,则0A,AA11(11) 设n21,,,是 n 阶方阵 A 的特征值 ,则inA1i,(12) 设*A 是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵,则2n*1nAA(13) 几种特殊行列式的计算: nnnnaaaaaa22112211000000, nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000,112n12)1(1222111211)1(000nnnnnnaaaaaaaaa5.1.3 MatLab计算行列式的命令det(var) % 计算方阵var 的行列式114 例 1 计算行列式3833262290432231的值在 MatLab 命令窗口输入: A=[1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3] det(A) 执行结果 : A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3 ans = -50 例 2 计算行列式dcb100110011001...
