线性代数矩阵试题及答案

1 第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由 m n 个数排列成的一个m 行 n 列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个 m n 型矩阵 。例如2 -1 0 1 1 1 1 1 0 22 5 4 -2 9 33 3 -1 8 是一个 4 5 矩阵 . 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第 i 行第 j 列的数称为 (i,j) 位元素。元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵 ,通常就记作0。两个矩阵A 和 B 相等 (记作 A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同 )，并且对应的元素都相等。2、 n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵 。n 阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线 。下面列出几类常用的n 阶矩阵 , 它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵 : 对角线外的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 单位矩阵 : 对角线上的的元素都为1 的对角矩阵 ,记作 E(或 I). 数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵 ,它就是 cE. 上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为0 的 n 阶矩阵 . 对称矩阵 : 满足 A T=A 矩阵， 也就是对任何i,j,(i,j) 位的元素和 (j,i) 位的元素总是相等的 n 阶矩阵 . 反对称矩阵 :满足 A T=-A 矩阵 .也就是对任何i,j,(i,j) 位的元素和 (j ,i)位的元素之和总等于0 的 n 阶矩阵 .反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵 ：若 AA T=ATA=E ，则称矩阵A 是正交矩阵。（1）A 是正交矩阵A T=A -1 （2）A 是正交矩阵2A=1 阶梯形矩阵 : 一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ① 如果它有零行，则都出现在下面。② 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0 元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0 元素所在的位置称为台角 。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意： 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个 m n 的矩阵 A 和 B 可以相加 (减),得到的和 (差)仍是 m n 矩阵,记作 A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘 : 一个 m n 的矩阵 A 与一个数 c 可以相乘 ,乘积仍为...