考研数学一真题解析-2010

1 / 26 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、选择题 (1-8 小题 ,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限= (A)1 (B)(C)(D)【考点分析】 ：考察 1 ∞型不定性极限。【求解过程】 ：方法一 ：利用求幂指型极限的一般方法：I = limx→∞[x 2(x-a )( x+b )]x= limx→∞ ex lnx 2(x-a ) (x+b)归结为求222limln()()limln 11()()lim1()()()lim()()xxxxxwxxaxbxxxaxbxxxaxbab xabxxaxbab因此， I = ea-b ，选 C 【基础回顾】 ：对于一般的幂指型极限有：()( )ln( )lim()ln()lim( )limg xg xfxg xfxf xee方法二 ：利用第二个重要极限求解22()lim()()limlim 11()()()()()lim 1()()xxxxxxa b x ab xx ax bxa bxxIxaxbxaxbab xabexa xbe2lim()()xxxxaxbeea beba2 / 26 【基础回顾】：一般地，对于1 ∞型极限，均可利用第二个重要极限求解：设 lim( )1f x， lim( )g x，则()( )lim(( ) 1)( )lim( )lim 1( )1g xg xfxg xf xfxe(2) 设 函数由 方 程确 定 ,其 中为 可微 函数 ,且则= (A)(B)(C)(D)【考点分析】 ：隐函数求导【求解过程】 ：方法一 ：全微分法方程(,)0y zFx x两边求全微分得：12()()0yzF dF dxx，即12220xdyydxxdzzdxFFxx整理得12122yFzFFdzdxdyxFF所以，122yFzFzxxF，12FzyF。代入即可求得zzxyzxy。选 B. 方法二 ：隐函数求导公式法记( , , ),yzG x y zFxx，对于隐函数( , , )0G x y z,利用隐函数求导公式得：122212221yzFFyFzFzGGxxxxzxFFx，112211FFzGGxyzyFFx代入即可求得zzxyzxy。选 B。( ,)zz x y(,)0yzFxxF20,Fzzxyxyxzxz3 / 26 方法三 ：复合函数求导法由方程,0yzFxx可确定( , )zz x y 。方程,0yzFxx两边分别对x,y 求偏导，注意( , )zz x y 。由复合函数求导法则：对 x 求偏导 : 12221()0yzzFFxxxx对 y 求偏导：12110zFFxxy解得：122yFzFzxxF12FzyF代入即可求得zzxyzxy。选 B。【方法总结】 ：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。(3)设为正整数 ,则反常积分的收敛性(A) 仅与取值有关(B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关【考点分析】 ：反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】 ：利用...