蝴蝶定理模型【1】任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”)(1)1243::SSSS 或1324SSSS(2)根据1S 与4S 的高相等,3S 与2S 的高相等可以得到1234:() : ()AO COSSSS【2】梯形中的比例关系( “蝴蝶定理”)(1)2213::SSab (a 、 b 为份数 ) (2)221324:::::() :()SSSSababab ( a 、 b 为份数 ) (3)梯形面积的对应份数为:2ab(a 、 b 为份数 ) 【3】已知四边形 ABCD ,O 是 BD 的中点。 NE、MF 相交于点 O。那么 OP=OQ 【例 1】已知正方形的面积为12,E、F 是 DC 上三等分点。求阴影部分的面积。【分析提示】:由 E、F 是 DC 上三等分点可知,:1:3EFAB。设1EOFS(份),根据梯形蝴蝶定理1 可以知道()AOEBOFSS份, ()AOBS份。又()ADEBFCSS。从而阴影部分的面积为:。【例 2】如图,四边形ABCD 被两条对角线分成4 个三角形,其中三个三角形的面积如图所示。求( 1)BGCS; (2):AG GC 。【分析提示】:根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道123BGCS, 那么6BGCS(2)。A B C D O D A C B E F M N O P Q A B C D G 1 2 3 A B C D O 【训练与提高】1.在直角梯形 ABCD 中,AB=15 厘米, AD=12 厘米,阴影部分的面积为15 平方厘米。梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?解答:连接 AE,可得15AEFBFCSS,。而因为()ABCS再次用蝴蝶定理可求EFCS所以ABCDS2.如图,在一个边长为6 的正方形中,放入一个边长为2 的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为多少?解法一:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为(),因此空白处的总面积为(),阴影部分的面积为()=()。解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为 2,下底都为 6,上底、下底之比为(),根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为(),所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的(),阴影部分的面积占该梯形面积的(),所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的(),那么阴影部分的面积为()。A B C D F 15 12 E