蝴蝶定理模型【1】任意四边形中的比例关系（ “蝴蝶定理”）（1）1243::SSSS 或1324SSSS（2）根据1S 与4S 的高相等，3S 与2S 的高相等可以得到1234:() : ()AO COSSSS【2】梯形中的比例关系（ “蝴蝶定理”）（1）2213::SSab (a 、 b 为份数 ) （2）221324:::::() :()SSSSababab ( a 、 b 为份数 ) （3）梯形面积的对应份数为：2ab(a 、 b 为份数 ) 【3】已知四边形 ABCD ，O 是 BD 的中点。 NE、MF 相交于点 O。那么 OP＝OQ 【例 1】已知正方形的面积为12，E、F 是 DC 上三等分点。求阴影部分的面积。【分析提示】：由 E、F 是 DC 上三等分点可知，:1:3EFAB。设1EOFS(份)，根据梯形蝴蝶定理1 可以知道()AOEBOFSS份, ()AOBS份。又()ADEBFCSS。从而阴影部分的面积为：。【例 2】如图，四边形ABCD 被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。求（ 1）BGCS; (2):AG GC 。【分析提示】：根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道123BGCS, 那么6BGCS（2）。A B C D O D A C B E F M N O P Q A B C D G 1 2 3 A B C D O 【训练与提高】1.在直角梯形 ABCD 中，AB=15 厘米， AD=12 厘米，阴影部分的面积为15 平方厘米。梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？解答:连接 AE,可得15AEFBFCSS，。而因为()ABCS再次用蝴蝶定理可求EFCS所以ABCDS2．如图，在一个边长为6 的正方形中，放入一个边长为2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为（），因此空白处的总面积为（），阴影部分的面积为（）＝（）。解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6，上底、下底之比为（），根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为（），所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的（），阴影部分的面积占该梯形面积的（），所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的（），那么阴影部分的面积为（）。A B C D F 15 12 E
