实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目名称 解线性方程组 实验类型 上机 实验学时 4 班级 2 0 1 1 1 1 3 1 学号 2 0 1 1 1 1 3 1 3 0 姓名 张振 指导教师 沈艳 实验室名称 理学楼 4 0 7 实验时间 2 0 1 3 .1 2 .9 实验成绩 预习部分 实验过程 表现 实验报告 部分 总成绩 教师签字 日期 哈尔滨工程大学教务处 制 实验四 解线性方程组 一．解线性方程组的基本思想 1．直接三角分解法： 将系数矩阵A 转变成等价两个矩阵L 和U 的乘积 ，其中L 和U 分别是下三角和上三角矩阵。当 A 的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A 可以分解为A=LU，且分解唯一。其中L 是单位下三角矩阵，U 是上三角矩阵。 2．平方根法： 如果矩阵A 为 n 阶对称正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角实矩阵L，使得：A=LL^T。当限定 L 的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为平方根法（Cholesky）分解。 3．追赶法： 设系数矩阵为三对角矩阵 1122233111000000000000000000nnnnnbcabcabAabcab 则方程组 Ax =f 称为三对角方程组。 设矩阵A 非奇异，A 有 Crou t 分解A=LU，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记 11222331100001000000010000000100,000000000000001nnnnbLU 可先依次求出 L，U 中的元素后，令 Ux =y ，先求解下三角方程组 Ly =f 得出 y ，再求解上三角方程组 Ux =y 。 4．雅克比迭代法： 首先将方程组中的系数矩阵A 分解成三部分，即：A = L+D+U，如图1所示，其中D 为对角阵，L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。 之后确定迭代格式，X)1( k = BX)(k +f ，如图2所示，其中B 称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。（k = 0,1，......）再选取初始迭代向量X)0( ，开始逐次迭代。 5．超松弛迭代法（SOR） 它是在GS 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法。 选取分裂矩阵M 为带参数的下三角矩阵 M＝1 （D－L ）， 其中 ＞0 为可选择的松弛因子，一般当1< <2时称为超松弛。 二.实验题目及实验目的 1．(第五章习题8)用直接三角分解（杜利特尔（Doolittle）分解）求线性方程组 141 x +251 x +361 x = 9， ...
