数值分析希尔伯特病态线性方程组

病态线性代数方程组的求解 理论的分析表明，求解病态的线性代数方程组是困难的。考虑方程组Hx = b的求解，其中H为Hilbert矩阵，nnijhH)(，11jihij，nji,...,2,1, 1. 估计Hilbert矩阵2-条件数与阶数的关系； 2. 选择问题的不同维数，分别用Gau ss消去法，Jacobi迭代，GS迭代和SOR迭代求解，比较结果； 3. 讨论病态问题求解的算法。 解： 1、 取Hilbert 矩阵阶数最高分别为n=20 和n=100。采用Hilbert 矩阵的2-条件数作为实验的比较对象，画出的曲线如下图所示：lg(())ncond Hn 从图中可以看出，在n≤13 之前，图像接近直线，在n＞13 之后，图像趋于平缓，在一定的范围内上下波动。为了比较图像的线性部分，作出一条直线与已知曲线进行比较。比较直线的关系式为：833.1519.1))(lg(nHcondn，结果下图所示。 0246810121416182002468101214161820nlg(cond(Hn))lg(cond(Hn))~n关系图 从图2中可以看出，当n较小时，nHcondn~))(lg(之间近似满足线性关系。当n 继续增大到100 时，nHcondn~))(lg(关系图下图所示： 从图中可以看出，图像的走势符合在n=20 时的猜想，在n 大于一定的值之后，图像趋于平缓，且在一定范围内震荡，同时又有一定上升趋势，但上升速度很慢。 2、 选择不同的阶数 n，设方程组的精确解为 xz=(1,1,… ,1)T 进行计算，用四种方法解 x_Guass1、x_Jacobi1、x_GS1、x_SOR1 对比表如下02468101214161820-5051015202530nlg(cond(Hn))lg(cond(Hn))~n关系图01020304050607080901000510152025nlg(cond(Hn))lg(cond(Hn))~n关系图表所示。 四种方法解x_Guass、x_Jacobi、x_GS、x_SOR 对比表 n x_Guass x_Jacobi x_GS x_SOR 3 1 -8.22E+307 0.99999 1 1 -1.552e+308 1 0.99999 1 -Inf 0.99997 1 4 1 1.0172e+308 1 0.99999 1 Inf 0.99965 1.0001 1 Inf 1.0008 0.99974 1 Inf 0.99948 1.0002 5 1 -6.07E+307 0.99879 1.0001 1 -1.2685e+308 1.0223 0.99904 1 -1.6592e+308 0.90511 1.004 1 -Inf 1.1421 0.99411 1 -Inf 0.93095 1.0028 6 1 -6.64E+307 0.99949 1 1 -1.4322e+308 1.0059 0.99954 1 -Inf 0.99518 1.0011 1 -Inf 0.95149 1.0009 1 -Inf 1.1021 0.99621 1 -Inf 0.94536 1.0023 7 1 -9.20E+307 1.0007 1 1 -Inf 0.98192 1.0002 1 -Inf 1.1022 0.9979 1 -Inf 0.80824 1.0062 1...