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数列极限概念

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1数列极限概念 一、内容提要 1 、数列 (1 )数列的定义;(2 )数列的表示法;(3 )数列的性质 1 )单调数列;2 )有界数列;3 )无界数列; 2 、数列的极限 (1 )数列收敛与发散的概念;(2 )数列极限的“N−ε”定义 3 、数列极限的性质 (1 )收敛数列极限的唯一性;(2 )收敛数列的有界性、保号性; (3 )收敛数列的子数列的性质 4、重点提示 (1 )理解数列极限的定义;(2 )了解收敛数列的性质,并加以应用 二、答疑解惑 问题1 数列}{nx的一般项)(nfxn =是否都能写成解析式? 答:不一定,可以举例来说明. 例如,数列" "",999.0 , ,99.0 ,9.0n,其一般项nnx1011−=, 于是一般项可写成解析式 nnf1011)(−=. 又如, 由π的不足近似值构成的有理数序列:",14.3 ,1.3 ,3,这种数列的一般项nx 就不能用函数解析式表示. 问题2 怎样认识数列极限? 答:可以从四个方面来考虑这个问题. 第一,研究数列的极限有何意义? 我们来看阿基米德曾经提出的一个问题:把直角三角形的斜边改为弯曲的曲边,这样的几何图形面积怎样计算?(设曲线边为 y = x2 ) 2 阿基米德想了一种办法,他将面积S 分割为n 个矩形面积的叠加: 2221112111( )0( )( )()nS nnnnnnnn−=×+×+×++×" 初步的结论是:S (n)只是S 的近似值,S (n)的值随n 的增大而越来越接近于S. S (n)是一个非常复杂的和式,并不能从S (n)中获取更多的信息. 阿基米德巧妙地计算出 111( )(1)(2)6S nnn=−−,于是总面积S 与数列 151110,,,,(1)(2),6 276nn−−"" 有密切关系. 从该数列的变化( n 增大)中看出,S (n)越来越接近于常数31 ,并且想让它有多接近就会有多接近(只要增大n ). 最终,阿基米德从数列的变化规律中确定了总面积S 等于31 . 从这个问题看出:所给的几何图形面积本来是一个常数(静止不变的),而得到这个常数的值却是通过研究一个数列的变化趋势(运动过程)来完成的. 这种思想方法逐渐发展成为极限概念. 第二,数列极限的定性描述 定义 1:如果n 无限增大时,数列}{nx的通项 nx 无限趋近于常数a 为极限,记作 limnnxa→∞= 或∞→→naxn ,,其中∞→n表示n 无限增大,此时也称该数列收敛. 如果 时, 3 从定义看出,极限是有限与无限的对立统一. 数列}{nx在 n 无限增大的过程中,nx 是变量,对于每一个有限的n 来说,nx 又是有限数,它是变量nx 在...

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