数列极限概念

1数列极限概念 一、内容提要 1 、数列 （1 ）数列的定义；（2 ）数列的表示法；（3 ）数列的性质 1 ）单调数列；2 ）有界数列；3 ）无界数列； 2 、数列的极限 （1 ）数列收敛与发散的概念；（2 ）数列极限的“N−ε”定义 3 、数列极限的性质 （1 ）收敛数列极限的唯一性；（2 ）收敛数列的有界性、保号性； （3 ）收敛数列的子数列的性质 4、重点提示 （1 ）理解数列极限的定义；（2 ）了解收敛数列的性质，并加以应用 二、答疑解惑 问题1 数列}{nx的一般项)(nfxn =是否都能写成解析式？ 答：不一定，可以举例来说明. 例如，数列" "",999.0 , ,99.0 ,9.0n，其一般项nnx1011−=， 于是一般项可写成解析式 nnf1011)(−=. 又如, 由π的不足近似值构成的有理数序列：",14.3 ,1.3 ,3，这种数列的一般项nx 就不能用函数解析式表示. 问题2 怎样认识数列极限? 答：可以从四个方面来考虑这个问题. 第一，研究数列的极限有何意义？ 我们来看阿基米德曾经提出的一个问题：把直角三角形的斜边改为弯曲的曲边，这样的几何图形面积怎样计算？（设曲线边为 y = x2 ） 2 阿基米德想了一种办法，他将面积S 分割为n 个矩形面积的叠加： 2221112111( )0( )( )()nS nnnnnnnn−=×+×+×++×" 初步的结论是：S (n)只是S 的近似值，S (n)的值随n 的增大而越来越接近于S. S (n)是一个非常复杂的和式，并不能从S (n)中获取更多的信息. 阿基米德巧妙地计算出 111( )(1)(2)6S nnn=−−，于是总面积S 与数列 151110,,,,(1)(2),6 276nn−−"" 有密切关系. 从该数列的变化( n 增大)中看出，S (n)越来越接近于常数31 ，并且想让它有多接近就会有多接近(只要增大n ). 最终，阿基米德从数列的变化规律中确定了总面积S 等于31 . 从这个问题看出：所给的几何图形面积本来是一个常数（静止不变的），而得到这个常数的值却是通过研究一个数列的变化趋势（运动过程）来完成的. 这种思想方法逐渐发展成为极限概念. 第二，数列极限的定性描述 定义 1：如果n 无限增大时，数列}{nx的通项 nx 无限趋近于常数a 为极限，记作 limnnxa→∞= 或∞→→naxn ,，其中∞→n表示n 无限增大，此时也称该数列收敛. 如果 时, 3 从定义看出，极限是有限与无限的对立统一. 数列}{nx在 n 无限增大的过程中，nx 是变量，对于每一个有限的n 来说，nx 又是有限数，它是变量nx 在...