数列综合应用(放缩法)

1 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例 1．正数数列 na的前n项的和nS ，满足 12nnaS，试求： （1）数列 na的通项公式； （2）设11nnnaab，数列 nb的前n项的和 为nB ，求证：21nB 2. 先放缩再求和 ①．放缩后成等差数列，再求和 例 2．已知各项均为正数的数列{ }na的前 n项和为nS , 且22nnnaaS. (1) 求证：2214nnnaaS； (2) 求证：112122nnnSSSSS  ②．放缩后成等比数列，再求和 例 3．（1）设 a，n∈N *，a≥2，证明： nnnaaaa)1()(2； （2）等比数列{an}中，112a  ，前 n项的和为 An， 且 A7，A9，A8 成等差数列．设nnnaab 12，数列{bn} 前 n项的和为 Bn，证明：Bn＜ 13 ． 2 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}na满足：11 a， )3,2,1()21(1nanannn．求证： 11213nnnnaa ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn 中， 若 1≤i＜j≤m 时 Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数）， 则称 Pi与 Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(nnn 的逆序数为an，如排列21 的逆序数11 a，排列321 的 逆序数63 a． （1）求a4、a5，并写出 an 的表达式； （2）令nnnnnaaaab11，证明： 32221nbbbnn，n=1,2,…. 高考真题再现： 1 .（0 6 浙江卷）已知函数32( )f xxx，数列{}nx (nx ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定： 曲线( )yf x在))(,(11nnxfx处的切线与经过 （0，0）和（nx ，()nf x）两点的直线平行（如图） 求证：当*nN时， (Ⅰ) 221132nnnnxxxx； （Ⅱ）21)21()21(nnnx。 3 2.（06 福建卷）已知数列 na满足 *111,21().nnaaanN （I）求数列 na的通项公式； （II）证明：*122311...().232nnaaann nNaaa 3.（07 浙江）已知数列...