数列通项公式常用求法及构造法

1 数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)( )f nf n=A（其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(nf是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(nf的通项公式，再根据)(nf与na ，从而求出na 的通项公式。 例1 在数列{}na中，1a = 12 ，133nnnaaa  （nN ），求数列{}na通项公式. 解析：由313nnanaa得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an 得，nnaa11131 ， 设bn=na1 ，则bn+1- bn=31 ，根据等差数列的定义知， 数列｛bn｝是首项b1=2，公差d=31 的等差数列， 根据等差数列的通项公式得bn=2＋31 （n-1）=31 n＋35 ∴数列通项公式为an=53n 例2 在数列｛an｝中，Sn 是其前 n 项和，且 Sn≠0，a1=1，an=1222nnSS(n≥2)，求Sn 与an。 解析：当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1 代入 an=1222nnSS得，Sn-Sn-1=1222nnSS，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1 两边除以SnSn-1 得，nS1 -11nS=2，∴｛nS1 ｝是首相为1，公差为2 的等差数列 ∴nS1 =1+2（n-1）=2n-1, ∴ Sn=121n(n≥2),n=1 也适合，∴Sn=121n(n≥1) 当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=121n-321n=-38422 nn，n=1 不满足此式， ∴an={21138422nnnn 二、构造等比数列求数列通项公式 2 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(nf是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(nf的通项公式，再根据)(nf与na ，从而求出na 的通项公式。 例3 在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。 解析： a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1 ∴1lglgnnaa =2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2 的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=122lgn ∴数列通项公式为an=122n 评析：本例通过两边取对数，变形成1log2lognnaa形式，构造等比数列}logna，先求出nalog的通项公式，从而求出na 的通项公式。 例4 在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。 解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B 为待定系数），展开得an+1=4an+3A...