数列通项公式的完整求法,还有例题详解

1 一． 观察法 例1：根据数列的前4 项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110 nna （2）;122nnnan （3）;12 nan （4）1)1(1nnann.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式： a n ＝1*1(1)(2,)nns nssnnN来求数列的通项公式。 例1： 已知数列{an}是公差为d 的等差数列，数列{bn}是公比为q 的(q∈R 且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1) a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴2213)2(qqbb=q2，由q∈R ，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 例2. 等差数列 na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122  nan (B) 42nan (C) 122 nan (D) 102 nan 解析：设等差数列的公差位 d，由已知12348)()(3333adaada， 解得243da，又 na是递减 数列， ∴ 2d， 81 a，∴ )2)(1(8nan102  n，故选(D)。 例3. 已知等比数列 na的首 项11 a，公比10 q，设 数列 nb的通项为21 nnnaab，求数列 nb的通项公式。 2 解析：由题意，321nnnaab，又 na是等比数列，公比为q ∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列 nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，∴ )1()1(1qqqqqbnnn 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例 4: 已知无穷数列 na的前 n项和为nS ，并且*1()nnaSnN，求 na的通项公式？ 【解析】： 1nnSa ， 111nnnnnaSSaa， 112nnaa ，又112a ，  12nna . 反思：利用相关数...