数列通项公式经典例题精析

经典例题精析 类型一：迭加法求数列通项公1．在数列中， ，，求. 解析： ， 当 ， ， ， 将上面个式子相加得到： ∴（）， 当时，符合上式 故. 总结升华： 1 . 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2 .当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三： 【变式1 】已知数列，，，求. 【答案】 【变式2 】数列中，，求通项公式. 【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ，∴， ∴， ∴，又， ∴当时，， 当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1 . 在数列中，，若为常数且 ，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2 ．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三： 【变式1 】在数列中， ，，求. 【答案】 【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 【答案】由得，∴ ， ∴， ∴当时， 当时，符合上式 ∴ 类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析： ，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为 d=5，首项 ， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2 ．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以 ，先求出，再求得. 举一反三： 【变式1 】数列中，，，求. 【答案】 【变式2 】数列中，,，求. 【答案】. 类型四：待定系数法求通项公式 4．已知数列中，，，求. 法一：设，解得 即原式化为 设，则数列为等比数列，且 ∴ 法二： ① ② 由①－②得： 设，则数列为等比数列 ∴ ∴ ∴ 法三：，，，……， ， ∴ 总结升华： 1 ．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列 的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法. 2 ．若数列有形如（k 、b 为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得. 举一反三： 【变式1 】已知数列中，，求 【答案】令，则， ∴，即 ∴， ∴为等比数列，且首项为，公比， ∴...