基本概念: 1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数........,叫做这几个数的公约数..........;其中最大的一个.......,叫做这几个数的最大公..........约数..。 例如:12 的约数有1,2,3,4,6,12;30 的约数有1,2,3,5,6,10,15,30。12和30 的公约数有1,2,3,6,其中6 是12 和30 的最大公约数。 一般地我们用(a,b)表示a,b 这两个自然数的最大公约数,如(12,30)=6。如果(a,b)=1,则a,b 两个数是互质数。 2、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 例如:12 的倍数有12,24,36,48,60,72,… 18 的倍数有18,36,72,90,… 12 和18 的公倍数有:36,72…其中36 是12 和 18 的最小公倍数。 一般地,我们用[a,b]表示自然数,a,b 的最小公倍数,如[12,18]=36。 3、最大公约数与最小公倍数的求法 A.最大公约数 求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 (1)分解质因数法 (2)短除法 (3)辗转相除法 (4)小数缩倍法 (5)公式法 前两种方法在数学课本中已经学过,在这里我们主要介绍辗转相除法。 当两个整数不容易看出公约数时(一般是数字比较大),我们可以合用辗转相除法。 B.最小公倍数 求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法: (1)分解质因数法 (2)短除法 (3)大数翻倍法 (4)a×b=(a,b)×[a,b] 上面的公式表示:两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。 例1、437 与 323 的最大公约数是多少? 例2、24871 和 3468 的最小公倍数是多少? 例3、把一块长90 厘米,宽42 厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米,面积都相等的小正方形铁板,恰无剩余。至少能剪 块。 (北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题) 【分析】:根据题意,剪得的小正形的边长必须是90 和42 的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6=15 段,宽要分42÷6=7段,至少能剪17×7=105(块) 解:(1)求 90 和42 的最大公约数 2 90 42 3 45 21 15 7 (90,42)=60 (2)求至少剪多少块正方形铁板 90÷6=15 45÷6 =7 15×7=105(块) 答:至少可以剪105 块正方形铁板。 说明:用短除法求小数的最大公约数比较容易。 例4、10 个自然数之和等于 1001,求这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少? 例5、甲、...