南昌工程学院 《计算方法》实验报告 课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12 级一班 学 生 姓 名 魏志辉 学 号 2012101316 《最小二乘求解》 1 引言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据( , )(1,2, , )iix yim出发，寻求函数y =f（x ）的一个近似表达式y=φ(x )，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟合的问题。 多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。首先，由实验提供的数据往往有测试误差。如果要求近似曲线 y=φ(x )严格地通过所给的每个数据点( , )iix y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因 此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。 定义( )iiixy为拟合函数在ix处的残差。为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i尽可能小。在最小二乘法中，我们选取 ()x，使得偏差平方和最小，即 2211[( )]minmmiiiiixy，这就是最小二乘法的原理。 2 实验目的和要求 运用 matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。 以下一组数据中 x 与 y 之间存在着bxyae的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a和 b，并计算相应的军方误差与最大偏差。数据如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0.898 2.38 3.07 1.84 2.02 1.94 2.22 2.77 4.02 4.76 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 y 5.46 6.53 10.9 16.5 22.5 35.7 50.6 61.6 81.8 3 算法原理与流程图 （1） 原理 最小二乘是要求对于给定数据列( , )(1,2,, )iix yim，要求存在某个函数类 01{ (),(),()}()nxxxnm 中寻求一个函数： ****0 01 1()()()()n nxaxaxax，使得*()x满足 *22( )11[ ( )]min [( )]nniiiixiixyxy。 根据以上条件可知，点***01( , , , )na aa 是多元函数 20110( , , , )[( )]mnnk kiiikSa aaaxy 的极小点，从而***01, , ,na aa满足方程组 0(0,1,,)kSkna 即00111111( )( )( )( )( ) ( )( )mmmmkiikiinkinikiiiiiiaxxaxxaxxx y...
