习题 1.1 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法2. 试证明 及证明：（1）令即又即⑵ 设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：该近似值具有7为有效数字。4. 若 T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中，系数与h无关。试证明由所定义的 T的逼近序列的误差为，其中诸是与 h无关的常数。证明：当 m=0时设 m=k时等式成立，即当 m=k+1时。习题 2 .1 1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）; (2)。解：（1）迭代公式，公式收敛k 0 1 2 30 0.25 0.25098 0.25098 （2），， 局部收敛k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）,对应迭代公式 ; （2），对应迭代公式 ; （3）,对应迭代公式。判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4 位有效数字。解：（1）局部收敛（2）局部收敛（3）不是局部收敛迭代公式（ 1）：0 1 2 3 4 5 6 7 1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.4 9 10 11 12 13 14 15 16 1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595 迭代公式（ 2）：k 0 1 2 3 4 5 6 1.5 1.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.466 3. 已知在 [a,b]内有一根，在 [a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。解：方程等价于构造迭代公式令由于在 [a,b]上也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性. 4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。证明：在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则 时有从而故令 ，由定理 2.1知，迭代公式是有局部收敛性。5. 用牛顿法求方程在 [3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：y次迭代公式k 0 1 2 3 3.5 3.64 3.63 3.63 6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。解：令y次迭代公式故从而 ，时，故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的7. 应用牛顿法于方程 , 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。解：相应的牛顿迭代公式为迭代函数，，...
