谈相似三角形解题技巧与口诀

1相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型：A 字形，斜 A 字形， 8 字形、斜 8 字形（或称X型），双垂直（母子型），, 旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。（1）ACD∽△ CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD?BD ⑵ △ ACD∽△ ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB （3）CDB∽△ ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式【证明等积式 ( 比例式 ) 策略】 : 1、直接法： 找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形，三点定形法2、间接法：对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”( 必要时需添辅助线) ，使其分别构成两个相似三角形来证明．⑴3 种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“ 8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比且夹角等、两角对应相等、三边对对应成比【口诀】：遇等积，改等比，横看竖看找相似；不相似，莫生气：等线等比来代替；平行线，转比例，等线等比来代替；? 遇等积，改等比，横看竖看找相似①△ ABC中， AB=AC，△ DEF是等边三角形，求证： BD?CN=BM?CE．证明： △ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠C． △ DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED．∴∠ MDB=∠AEC．∴△ BDM∽△ CEN．∴CNBMCEBD即∴ BD?CN=BM?CE．BCADE2反馈：如图，△ ABC是等边三角形，D、E 在 BC所在的直线上，且AB?AC=BD?CE．求证：△ ABD∽△ ECA．证明： △ ABC是等边三角形（已知），∴∠ ABC=∠ACB=60° （等边三角形的三内角相等，都等于60° ），∴∠ ABD=∠ACE（等角的补角相等），又 AB?AC=BD?CE（已知），即ACCEBDAB∴△ ABD∽△ ECA（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）②等边三角形ABC中， P为 BC上任一点， AP的垂直平分线交AB、AC于 M、N两点。求证： BP?PC=BM?CN 证明：连接PM，PN， MN垂直平分 AP，∴AM=MP，AN=PN，又 MN为公共边，∴△ AMN≌△ PMN（SSS），∴∠ MPN=∠BAC=60° ， ∠ BPM+∠CPN=120° ，∠ BPM+∠BMP=120° ，∴∠ BMP=∠CPN，由∠ B=∠C=60° ，∴△ MPB∽△ PNC，...