转化与化归二

.转化与化归二化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或条件将问题通过变换加以转化，进而到达解决问题的思想. 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. 化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化〞或“变换〞。它的根本形式有：①化未知为；②化难为易，化繁为简；③化高维为低维；④化抽象为具体；⑤化非标准性问题为标准性问题；⑥化数为形，化形为数；；⑦化曲为直；⑧化实际问题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等。匈牙利著名数学家罗莎· 彼得在他的名著?无穷的玩艺 ?中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？〞对此，某人答复说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。〞提问者肯定了这一答复，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？〞这时被提问者一定会大声而有把握地答复说：“点燃煤气，再把水壶放上去。〞但是更完善的回容许该是这样的：“只有物理学家才会按照刚刚所说的方法去做，而数学家会答复：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’〞。化归思想是指问题之间的相互转化。前苏联著名数学家C.A. 雅诺夫斯卡娅， 有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了 ?什么叫解题 ?的演讲， 她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意料： “解题就是把题归结为已经解决过的问题〞，这句话实际上就是表达了化归思想。因此化归的常用模式为转化对象目 标解答一、将未知的问题转化归结为的知识【例 1】设),0(1coscos2)(2xxxxf假设方程)2(cos)(xkxf中的 cosx 有两个不同的符号 , 求实数 k 的取值范围。【分析】令cosx=t,)1,1(t, 那么由)2(cos)(xkxf得)1(,012)1(22ktkt方程)2(cos)(xkxf中的cosx 有两个不同的符号，等价于关于t的方程 (1) 在)1,1(t有异号两根 , 设12)1(2)(2ktkttg, 那么原问题又等价于0)1(0)1(0)0(ggg, 由此可得210k【评注】将未知的问...