最短路线和最速降线 一、最短路线 1． 问题 设一辆汽车停止于 A 处并垂直于 A B 方向，此汽车可转弯的最小圆半径为 R ,求不倒车时由 A 移到 B 的最短路线。 （1）讨论2ABR的情形。 （2）简单讨论2ABR的情形。 2． 假设 将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。 3． 建模 （ 1） 讨论2ABR的情形。以 A B 为Y 轴正向，作一半径为 R 的圆 与 X 轴切于 A 点，问题就是要找一条最短曲线连结A B ，在 A 点切于 X 轴正向，且任一点的曲率半径不小于 R 。 直观上不难猜测出最短路径。从 B 点向圆 做切线 BC ，那么由 A 点沿圆弧 AC 移到 C 点，再沿直线移到 B 点，这就是最短路径（如图 1 所示）。 为了证明这一事实，作一条直线l 通过圆 的中心O 和C 点。 假设汽车沿某一条曲线1 由 A 点移到 B 点，因 A 、B 分别在直线 l 两侧，1 与 l 必有一交点11,C 被分成弧1AC 和弧1BC 两段。因 BC 与 l 垂直，弧1BC 的长度必不小于线段 BC 的长度（当且仅当弧1BC 与线段 BC 重合时才可能相等）。设弧1AC 的参数方程为 () ,() ,( 0 )0 ,( 0 )xxsyysxy 图 1 其中 s 为弧长。在点 ( ( ),( ))x sy s处，曲线的切线与 X 轴的夹角记为 ，依条件有 1ddsR 当0s 时，0 ，故 00011,ssRdsdRds 从而 s R 。 研 究 曲 线 上 的 点 与 直 线l的 距 离 （ 在l的 右 边 为 正 ）( )( ) cos( ( )) sin,J sx sy sRBOC 因为 cos,sindxdydsds 故 00( )cos( ),( )sin( )ssx st dt y st dt 因此 000( )coscos( )sin(sin())cos( ( ))sinsssJ st dtdtRtdtR 当0t 时，有( )tt R。当0()tR 时,( )tttRR。 故cos(( ))cos()ttR 故当0()sR 时，0( )cos()sinsin()0stsJ sdtRRRR 这就是说，当汽车移动距离不超过()R （就是弧 AC 的长度）时，它不可能越过直线 l 。因此弧1AC 的长度至少为()R ,并且只有当弧1AC 与 AC 完全重合时，它的长度才能等于()R 。 总结上述讨论，知曲线1 的长度必不小于()tan,RR并且只...
