赋 范 线 性 空 间 E 是 有 限 维E 局 部 紧证 ：→ 不 妨 设 E 为 实 n 维 赋 范 线 性 空 间 ， 则E 与 Rn拓 扑 同 构而 Rn 中 任 意 有 界 闭 集 是 紧 的 ， 由 紧 集 上 的 连 续 函 数 定 理 知 E 的 任 意 有 界 闭 子集 是 紧 的 ， 即 E 局 部 紧← 设 E 无 限 维 但 任 意 有 界 闭 子 集 是 紧 的S 是 E 中 的 单 位 球 面 ： S={x:||x||=1}则 S 是 E 中 的 紧 集由 里 斯 定 理 ：∀x1∈S,∃x2∈S,ST,||x2-x1||≥ 1/2,∃x3∈S,ST,||x3-xi||≥ 1/2,(i=1.2)…… 类 推 ， 由 E 无 限 维 ， 故 可 取 S 中 的 一 个 系 列 元 素 x1,x2… xk…ST， ||xk-xl||≥ 1/2,显 然 ｛ xk｝ 无 收 敛 子 列 ， 矛 盾X 是 完 备 的 距 离 空 间 ， T:X→ X,∀x,y∈X,ρ (Tx,Ty)≤ θ ρ (x,y),0≤ θ <1,则T中 存 在 唯 一 不 动 点 x`,ST,Tx`=x`,&&x`可 用 迭 代 法 求 出证 ：∀x0∈X,Set,x1=Tx0,… ， xn+1=xn… 则 ρ (x1,x2)≤ θ ρ (x0,x1) …ρ (xn,xn+p)≤ （ θn+θn+1+… +θn+p） ρ (x0,Tx0)=θnρ (x0,Tx0)/(1-θ )→ 0则 {xn}是 基 本 点 列 ， 又 因 为 X 完 备 ， 故 {xn}收 敛 于 某 x`∈Xρ (Tx,Ty)≤ θ ρ (x,y)知 T 连 续 ， xn+1=xn 令 n→ ∞ 得 x`=Tx`即 x`是 不 动 点设 另 有 不 动 点 y`∈X,则 ρ (x`,y`)≤ θ ρ (x`,y`)得 ρ (x`,y`)=0 即 x`=y`闭 图 像 定 理 ： T是 E 到 E1 的 闭 算 子 ， E， E1 都 是 B 空 间 ， 则 T 有 界证 ：E,E1 是 B 空 间 ， 则 E⊕E1 也 是 B 空 间 ， ||(x,y)||=||x||+||y||设 G 是 E ⊕E1 的 闭 子 空 间 ， 则 G 也 是B 空 间定 义 ： T`： G→ E,T`(x,Tx)=x,则 T 为 双 射再 者 由 ||T`(x,Tx)||=||x||≤ ||x||+||Tx||=||(x,Tx)||知 T`有 界故 T`有 有 界 逆 算 子 T~,则 ∀x∈E,(x,Tx)=T~x→ ||(x,Tx)||≤ ||T~||||x||→ ||Tx|||T~||≤ ||x||即 T 有 界P669.(a)略 (b)提 示 ： 设 A={多 项 式全体}， 每个 函 数 都 有 傅立叶展开式11.(a)略 (b)提 示 ： 同 胚即 找双 射 ， 距 离 之间 存...
