泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令pyxyxd||),(，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解 ： 若 R 是度量空间，所 以Rzyx,,，必 须 有 ：),(),(),(zydyxdzxd成立 即pppzyyxzx||||||，取1,0,1zyx， 有2112ppp，所以，1p 若 R 是赋范空间，pxxxd||||||)0,(，所以Rkx ,， 必须有：||||||||||xkkx成立，即ppxkkx||||||，1p， 当1p时，若 R 是度量空间，1p时，若 R 是赋范空间。 2．若),(dX是度量空间，则)1,min(1dd ，ddd 12也是使 X 成为度量空间。 解：由于),(dX是度量空间，所以Xzyx,,有： 1）0),(yxd，因此0)1),,(min(),(1yxdyxd 和0),(1),(),(2yxdyxdyxd 且当yx 时0),(yxd， 于是0)1),,(min(),(1yxdyxd和0),(1),(),(2yxdyxdyxd 以及若 0)1),,(min(),(1yxdyxd或0),(1),(),(2yxdyxdyxd 均有0),(yxd成立，于是yx 成立 2）),(),(yxdxyd， 因此),()1),,(min()1),,(min(),(11yxdyxdxydxyd 和),(),(1),(),(1),(),(22yxdyxdyxdxydxydxyd 3）),(),(),(zydyxdzxd，因此 }1),,(),(min{)1),,(min(),(1zydyxdzxdzxd ),(),()1),,(min()1),,(min(11zydyxdzydyxd 以及设xxxf 1)(，0)1(1)(2 xxf，所以)(xf单增， 所以),(),(1),(),(),(1),(),(2zydyxdzydyxdzxdzxdzxd ),(),(1),(),(),(1),(zydyxdzydzydyxdyxd ),(),(),(1),(),(1),(22zydyxdzydzydyxdyxd 综上所述)1,min(1dd 和ddd 12均满足度量空间的三条件， 故 ),(1yxd和 ),(2yxd均使X 成为度量空间。 3．设H 是内积空间，Hyyxxnn,,,，则当xxn ， yyn 时，),(),(yxyxnn，即内积关于两变元连续。 解：H 是内积空间，设||||  是由其内积导出的范数，由于xxn ，yyn ， 所 以0，0n使 得 当0nn 时均 有||||xxn和||||yyn 同时由于 yyn ，故知ny 有界，Hx所以|||| x 有限。因此可取 ||)||||,(||sup1nnyxM 因此|),(),(),(),(||),(),(|yxyxyxyxyxyxnnnnnn |),(||),(||),(),(||),(),(|yyxyxxyxyxyxyxnnnnnnn MyyMxxMyyxyxxnnnnn2|||||||||||||||||||||||| 故0)},(),(lim{yxyxn...