选修5高中数学基本不等式

第 1 页，共 8 页数学· 选修 4－5( 人教 A 版) 1.1 不等式1.1.2 基本不等式一 层 练 习1．设 x, y∈R, 且 x＋y＝5, 则 3x＋3y 的最小值为 ( ) A．10 B ．63 C．46 D ．183 答案： D 2．下列不等式一定成立的是( ) A．lg( x2＋14)>lg x( x>0) B．sin x＋1sin x≥2( x≠kπ , k∈Z)C．x2＋1≥2| x|( x∈R)D.1x2＋1>1( x∈R)不等式和绝对值不等式第 2 页，共 8 页解析：应用基本不等式：x, y∈R＋,x＋y2≥xy( 当且仅当 x＝y 时取等号 ) 逐个分析, 注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当 x>0 时, x2＋14≥2· x· 12＝x, 所以 lg x2＋14≥lg x( x>0), 故选项 A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等, 而当 x≠kπ , k∈Z 时,sin x 的正负不定 ,故选项 B 不正确； 由基本不等式可知 , 选项 C正确；当 x＝0 时, 有1x2＋1＝1, 故选项 D不正确．答案： C 3．若 a, b∈R, 且 ab>0, 则下列不等式中 , 恒成立的是 ( ) A．a2＋b2>2ab B ．a＋b≥2abC.1a＋1b> 2ab D. ba＋ab≥2解析： a2＋b2－2ab＝( a－b)2≥0, ∴A 错误．对于 B,C, 当 a<0 时, b<0 时, 明显错误．对于 D, ab>0, ∴ba＋ab≥2ba·ab＝2. 答案： D 二 层 练 习4．(2013· 福建卷 ) 若 2x＋2y＝1, 则 x＋y 的取值范围是 ( ) A．[0,2] B．[ －2,0] C．[ －2, ＋∞) D ．( －∞ , －2] 解析：利用基本不等式转化为关于x＋y 的不等式 , 求解不等式即可． 2x＋2y≥22x＋y,2x＋2y＝1, ∴22x＋y≤1, ∴2x＋y≤14＝2－2, ∴x＋y≤－ 2, 第 3 页，共 8 页即( x＋y) ∈( －∞ , －2] ．答案： D 5．(2013· 山东卷 ) 设正实数 x, y, z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0, 则当 zxy取得最小值时． x＋2y－z 的最大值为 ( ) A．0 B. 98 C ．2 D. 94解析：含三个参数x, y, z, 消元 , 利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2( x, y, z∈R＋), ∴zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx －3≥2xy· 4yx －3＝ 1. 当且仅当xy＝4yx , 即 x＝2y 时“＝”成立 , 此时 z＝x2－ 3xy＋4y2＝ 4y2－6y2＋4y2＝2y2, ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－ 2y2＋4y＝－ 2( y－1)2＋2. ∴当 y＝1 时, x＋2y－z 取最大值 2. 答案： C 6．(2013· 山东卷 ) 设正实数 x、y, z 满足 ...