含参数导数问题的探究与拓展（含参导数的三个基本讨论点）一、导入：导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本专题就来讨论这一问题，供大家参考。二．基础训练1.求函数的单调区间和极值点。答案：（1）函数单调递增区间是（-∞，+∞）；无极值点a<0时，单调递增区间是：（-∞，，单调递减区间是：是函数的极大值点，是极小值点。2.若函数f(x)＝mx2－x＋lnx.在定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围。___________.3.若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．b＞0.4.已知函数f(x)＝.若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a,2a](a＞0)都成立，求m范围．解：由题m＞，①②③∴当a≤时，m＞；当a≥e时，m＞，当＜a＜e时，m＞.三、范例解析（一）求导后，考虑导函数是否有零点（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1（2008年高考广东卷（理科）设，函数，试讨论函数的单调性。解：。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2）当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2）当时，。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。综上所述：（1）当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。（2）当时，函数在上为增函数，在上为减函数。（3）当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。练习1：（2010辽宁文数）已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx.当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.当x∈(0,12aa)时,()fx＞0；x∈(12aa，+)时，()fx＜0,故f(x)在（0,12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以1212()()4fxfxxx等价于12()()fxfx≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则1()2agxaxx+4＝2241axxax.于是()gx≤2441xxx＝2(21)xx≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，1212()()4fxfxxx.二、求导后，导函数有零点（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数的零点是否落在定义域内，从而引起讨论。例2(2008高考浙江卷理科)已知是实数，函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2）当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。②当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。①若，无解；②若，由解得；③若，由解得。综上所述，的取值范围为。练习2：三．...
