2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生(三校联招)试题数学部分1.(仅文科做),求证:.2.为边长为的正五边形边上的点.证明:最长为.(25分)3.为上在轴两侧的点,求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)4.向量与已知夹角,,,,,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)5.(仅理科做)存不存在,使得为等差数列.(25分)2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生(三校联招)试题数学部分解析1.(仅文科做),求证:.1【解析】不妨设,则,且当时,.于是在上单调增.∴.即有.同理可证.,当时,.于是在上单调增。∴在上有。即。注记:也可用三角函数线的方法求解.2.为边长为的正五边形边上的点.证明:最长为.(25分)【解析】以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.⑴当中有一点位于点时,知另一点位于或者时有最大值为;当有一点位于点时,;⑵当均不在轴上时,知必在轴的异侧方可能取到最大值(否则取点关于轴的对称点,有).不妨设位于线段上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使最大的点必位于线段上.且当从向移动时,先减小后增大,于是;对于线段上任意一点,都有.于是由⑴,⑵知.不妨设为.下面研究正五边形对角线的长.如右图.做的角平分线交于.易知.于是四边形为平行四边形.∴.2OR2R1QPPQR1R2OBAIHGFE1111xx-1由角平分线定理知.解得.3.为上在轴两侧的点,求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)【解析】不妨设过点的切线交轴于点,过点的切线交轴于点,直线与直线相交于点.如图.设,且有.由于,于是的方程为;①的方程为.②联立的方程,解得.对于①,令,得;对于②,令,得.于是..不妨设,,则③不妨设,则有6个9个.④又由当时,③,④处的等号均可取到.∴.注记:不妨设,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.由知当时;当时.则在上单调减,在上单调增.于是当时取得最小值.34.向量与已知夹角,,,,,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)【解析】不妨设,夹角为,则,令.其对称轴为.而在上单调增,故.当时,,解得.当时,在上单调增,于是.不合题意.于是夹角的范围为.5.存不存在,使得为等差数列.(25分)【解析】不存在;否则有,则或者.若,有.而此时不成等差数列;若,有.解得有.而,矛盾!2011年综合性大学(北约13校)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题。每题20分,共100分。4【试题解答】1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线长。解析:平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和,设另一条对角线长为,所以,所以。2.求过抛物线和的交点的直线方程。解析:解法一:由,得,所以过抛物线和的交点的直线方程。5解法二:由得或,所以过抛物线和的交点的直线方程。3.在等差数列中,,数列的前项和为,求数列的最小项,并指出其值为何?解析:因为所以,所以,法一:由得,又,所以,所以。法二:由,所以当,。4.在中,,求证:.解析:因为,当且仅当时,成立,又因为,所以。65.是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?解析:设存在四个正实数使得他们两两乘积为2,3,5,6,10,16,因为四个正实数的两两乘积为,把这些乘积乘起来,所以,又为正实数,所以,所以在2,3,5,6,10,16中应存在两个数之积等于,显然这是不可能的,所以假设不成立,所以不存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16。6.和是平面上两个不重合的固定圆,是平面上的一个动圆,与,都相切,则的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.解析:不妨设,和的半径分别为(),(1)当和相离时,即,(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;若与,都内切,则,,所以;所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以;若与外切,内切,则,,所以;7所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;(2)当和外切时,即,(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;若与,都内切,则,,所以;所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;(ⅱ)若与内切,外...