２010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分1．(仅文科做),求证:．2．为边长为的正五边形边上的点．证明:最长为.(2５分)３．为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值．(２5分）4．向量与已知夹角，，，，,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(25分)5.(仅理科做)存不存在,使得为等差数列.(25分）2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分解析1.（仅文科做)，求证：.1【解析】不妨设，则，且当时，.于是在上单调增.∴.即有.同理可证.，当时,．于是在上单调增。∴在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解．２．为边长为的正五边形边上的点.证明:最长为．(25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为;当有一点位于点时，;⑵当均不在轴上时,知必在轴的异侧方可能取到最大值(否则取点关于轴的对称点,有)．不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的)，则使最大的点必位于线段上.且当从向移动时，先减小后增大，于是;对于线段上任意一点，都有.于是由⑴，⑵知．不妨设为.下面研究正五边形对角线的长.如右图．做的角平分线交于.易知．于是四边形为平行四边形．∴．2OR2R1QPPQR1R2OBAIHGFE1111xx-1由角平分线定理知.解得．3.为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值.(25分)【解析】不妨设过点的切线交轴于点,过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点.如图.设,且有.由于，于是的方程为;①的方程为．②联立的方程，解得.对于①,令,得;对于②,令，得．于是.．不妨设，,则③不妨设,则有6个9个.④又由当时,③，④处的等号均可取到．∴.注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由知当时；当时．则在上单调减,在上单调增.于是当时取得最小值．34.向量与已知夹角,,，，,.在时取得最小值,问当时,夹角的取值范围.(2５分）【解析】不妨设，夹角为,则，令．其对称轴为.而在上单调增,故.当时，,解得．当时,在上单调增,于是．不合题意.于是夹角的范围为．5．存不存在，使得为等差数列．（25分)【解析】不存在；否则有,则或者.若，有．而此时不成等差数列;若，有．解得有．而，矛盾!2011年综合性大学（北约13校)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题，理科考生做３至7题。每题20分，共1００分。4【试题解答】1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6,求另一条对角线长。解析:平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为，所以,所以。2.求过抛物线和的交点的直线方程。解析:解法一：由,得,所以过抛物线和的交点的直线方程。5解法二:由得或,所以过抛物线和的交点的直线方程。3.在等差数列中,，数列的前项和为,求数列的最小项,并指出其值为何?解析：因为所以,所以,法一:由得,又,所以,所以。法二：由，所以当，。4.在中,,求证:.解析:因为，当且仅当时,成立,又因为，所以。65.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2,3，5，６,1０,1６？解析:设存在四个正实数使得他们两两乘积为2，3，５,６，10,16,因为四个正实数的两两乘积为，把这些乘积乘起来，所以，又为正实数，所以，所以在2,3,5,6，1０，１６中应存在两个数之积等于,显然这是不可能的，所以假设不成立,所以不存在四个正实数,使得他们的两两乘积为２,３，5，6，10,16。６．和是平面上两个不重合的固定圆，是平面上的一个动圆，与,都相切，则的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由．解析:不妨设，和的半径分别为（），(1)当和相离时，即,（ⅰ)若与,都外切，则,,所以；若与,都内切,则，,所以；所以，由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线；(ⅱ）若与内切,外切，则，，所以；若与外切，内切，则,，所以;7所以，由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线；(2)当和外切时,即,(ⅰ）若与,都外切,则，，所以；若与，都内切,则,，所以；所以，由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;(ⅱ)若与内切,外...
