题解多维随机变量及其分布

1 习题 3.11．设二维随机变量 (,)X Y 的联合分布函数))((),(arctgyCarctgxBAyxF，求常数 A 、 B 、 C),(yx．解： 由分布函数),(yxF的性质得：1)2)(2(),(CBAF；0))(2(),(arctgyCBAyF；0)2)((),(CarctgxBAxF；从而2B，2C，21A。2. 设有 10 件产品，其中 2 件是次品， 8 件是正品，从中依次随机取出二件，每次取一件， 取后不放回。 以 X 表示第一次取的次品数， 以Y 表示第二次取到的次品数，求 (,)X Y 的分布列 . 解： X 与 Y 可能的取值都为： 0,1 ，则分布列为YX0 1 0 28458451 8451453．把一颗均匀的骰子随机的抛两次，设随机变量 X 表示第一次出现的点数，随机变量 Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量(,)X Y 的分布列．解： X 与 Y 可能的取值都为： 1，2,3,4,5,6则分布列为YX1 2 3 4 5 6 1 1361361361361361362 0 2361361361361363 0 0 3361361361362 4 0 0 0 4361361365 0 0 0 0 5361366 0 0 0 0 0 6364 ．一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，从袋中任取一球后，不放回袋中， 再从袋中任取一球。 设每次取球时， 袋中各个球被取到的可能性相同，用 X 和 Y 分别表示第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(1) (,)X Y 的分布列；(2) 求()P XY ．解： (1) 由题意知： (,)X Y 的可能取值为)2,1(、)1,2(、)2,2(，而111,2(1)(21)133P XYP XP YX；2112,1(2)(12)323P XYP XP YX；2112,2(2)(22)323P XYP XP YX所以， (,)X Y 的分布列为：YX1 2 1 0 312 3131(2) ()1,12,12,2P XYP XYP XYP XY1120333 。若采用有放回的抽取方式， 则 (,)X Y 的可能取值为)1,1(、)2,1(、)1,2(、)2,2(，而1111,1(1)(1)339P XYP XP Y；1221,2(1)(2)339P XYP XP Y；1222,1(2)(1)339P XYP XP Y；3 2242,2(2)(2)339P XYP XP Y所以， (,)X Y 的分布列为：YX1 2 1 91922 9294(2) ()1,12,12,2P XYP XYP XYP XY12479999 。5． 设 (,)X Y 的分布列为：YX0 1 2 -1 0.25 0.05０0 0 0.15 0.05 1 0.1 0.3 0.1 求（ 1）()P XY ；（2）()P XY ；（3）(0)P XY．解 （1）()(1,0)(1,1)(1,2)(0,1)(0,2)(1,0)P XYP XYP XYP XYP XYP XYP XY(1,2 )0.PXY.（2）()(1,1)(0,0)(1,1) 0.35P XYP XYP XYP XY；（3）(0)(1,1)(0,0)0.05P XYP XYP XY．6． 设二维随机变量 (,)X Y ...