知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(提高)

第 1 页共 15 页离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量g 的概率分布为gx1x2xiPp1p.pi则称 Eg=xp+xp+...+xp+...为 g的均值或数学期望，简称期望.1122nn要点诠释：(1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2)一般地，在有限取值离散型随机变量 g的概率分布中，令 p—p—...-p,则有 12n11p—p—...—p——,Eg—(x+x+...+x)x—,所以g 的数学期望又称为平均数、均值。12nn12nn(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.2.性质：① E(g+n)—Eg+En；② 若n—ag+b(a、b 是常数)，g 是随机变量，则n 也是随机变量，有 E(ag+b)—aEg+b；E(ag+b)—aEg+b 的推导过程如下：：n 的分布列为gxxxnax+bax+bax+bPPPP于是 En—(ax+b)p+(ax+b)p++(ax+b)p+1122ii第 2 页共 15 页=a(xiTx2p2+…++…)+b(Pp2+…++…尸 aEg+bE(ag+b)=aEg+b。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据 x,x，…，x，它们的平均值为 X，那么各数据与 X 的差的平方的平均数 12n1_——S2=[(x—x)2+(x—x)2+...+(x—x)2]叫做这组数据的方差。n12n2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量 g的概率分布为gxxxPPIP2p.则称 Dg=(x—Eg)2-p+(x—Eg)2-p+...+(x—Eg)2-p+•••称为随机变量 g的方差，式中1122ni的 Eg 是随机变量g 的期望.Dg 的算术平方根叫做随机变量g 的标准差，记作Qg.要点诠释：⑴ 随机变量g 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;⑵ 随机变量g 的方差、标准差也是随机变量 g 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差(标准差)越小，随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值).⑶ 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3. 期望和方差的关系：Dg=E(g2)—(Eg)24. 方差的性质：若耳二 ag+b(a、b 是常数)，g 是随机变量，则耳也是随机变量，DH 二 D(ag+b)二 a2Dg；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量 ...