第三章相互独立的随机变量多维随机变量及其分布VIP免费

相互独立的随机变量}{xX则称随机变量X和Y相互独立，简称独立.随机变量X,Y独立的充分必要条件是对任何实数x,y，一、随机变量的独立性定义1如果对任何实数x,y，事件,}{独立与yY).()(),(yFxFyxFYX),()(),(yYPxXPyYxXP或等价地.),()(),(),,(函数的分布函数及边缘分布分别是二维随机变量其中YXyFxFyxFYX102:07:46一电子元件由两个部件构成，以X,Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知(X,Y)的联合分布函数为.,0,0,0),1)(1(),(其它yxeeyxFyx求X与Y的边缘分布函数，并判断X与Y是否相互独立？例1202:07:46解.,0,0,0),1)(1(),(其它yxeeyxFyx),()(xFxFX.,0,0,1其它xex同理),()(yFyFY.,0,0,1其它yey.)()(),(Rx,y,yFxFyxFYX所以X与Y相互独立.302:07:46此时，若再求两个部件的寿命都超过100小时的概率，则)1.0,1.0(YXP)1.0()1.0(YPXP)]1.0(1)][1.0(1[YPXP)]1.0(1)][1.0(1[YXFF1.01.0ee.2.0eX与Y相互独立.402:07:46联合分布和边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布.但由边缘分布一般不能确定联合分布.两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.在两个随机变量相互独立的情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布.502:07:46二、离散型随机变量的独立性定理1.,2,1,,2,1),,(),(jiyxYXji取的值为的所有可能设二维离散型随机变量,,jiyx对任何件是相互独立的充分必要条和则YX).()(),(jijiyYPxXPyYxXP两个离散型随机变量相互独立时，它们的联合分布律等于两个边缘分布律的乘积.602:07:46求随机向量(X,Y)的联合分布律.设两个独立的随机变量X与Y的分布律为例2XP317.03.0YP424.06.0因为X与Y相互独立,解所以),()(),(jijiyYPxXPyYxXP)2()1()2,1(YPXPYXP6.03.0.18.0)4()1()4,1(YPXPYXP4.03.0.12.0702:07:46)2()3()2,3(YPXPYXP6.07.0.42.0)4()3()4,3(YPXPYXP4.07.0.28.0的联合分布律为因此),(YXYX421318.012.042.028.0802:07:46三、连续型随机向量的独立性).(),(,yfxfYXYX分别具有概率密度设这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.定理2，且有联合密度随机向量独立的充分必要条件是则),(),(,yxfYXYX.)()(),(在平面上几乎处处成立yfxfyxfYX902:07:46下面考察二维正态随机变量的两个分量的独立性.由第二节的讨论可知，).,(~),,(~),;,,,(~),(222211222121NYNXNYX则若).(~~),(~),,(~),(yfYxfXyxfYXYX设1002:07:46),;,,,(~),(222121NYX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf，则若02222212121)()(21exp21),(σμyσμxσσyxf22222212112)(exp212)(exp21σμyσσμxσ,,),()(RyxyfxfYX即X与Y相互独立.1102:07:47相互独立，与且已知设YXNYX),;,,,(~),(222121都是连续函数，，，由于)()(),(yfxfyxfYX,)()(),(,,成立故对于所有的yfxfyxfyxYX则特别地，取,,21yx,)()(),(2121YXfff,212112121221σσρσσ即.0从而.0),,(件是相互独立的充分必要条和机变量综上，对于二维正态随YXYX1202:07:47甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率;又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻.以12时为起点0,以分为单位.例3先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率所求为P(|X-Y|5)及P(X