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大学拓扑学考试试卷参考答案（A）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题 3 分，共 15 分)1、1、已知 X {a,b,c,d,e},下列集族中，（）是 X 上的拓扑.A. T {X , ,{a},{a,b},{a,c,e}}B. T {X , ,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}C. T {X , ,{a},{a,b}}D. T {X , ,{a},{b},{c},{d},{e}}2、设 X {a,b,c,d} ，拓扑T {X , ,{a},{b,c,d}},则 X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D.43、在实数空间中，整数集 Z 的内部 Z o 是（）A. B. ZC. R-ZD. R4、已知 X 是一个平庸拓扑空间，A 是 X 的子集,则下列结论中正确的是（）A. 若 A   ,则 Ad  B. 若 A  {x0},则 Ad  XC. 若 A={ x1, x2},则 Ad  X  AD. 若 A {x1, x2},则 Ad  A5、平庸空间的任一非空真子集为()A. 开集B. 闭集C. 既开又闭D. 非开非闭二、简答题（每题 3 分，共 15 分）1、 A2 空间2、T1空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20 分，每题 5 分，判断 2 分，理由 3 分）1、从拓扑空间 X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）2、设拓扑空间 X 满足第二可数性公理，则 X 满足第一可数性公理（）3、设 A为平庸空间 X （ X 多于一点）的一个单点集，则 Ad   （）4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ()四、证明题（共 50 分）1 、 设 X ,Y,Z 都 是 拓 扑 空 间 . f : X  Y ,g :Y  Z 都 是 连 续 映 射 ， 试 证 明g o f : X  Z 也是连续映射。(10 分)2、设 f : X  Y 是从连通空间 X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则 f (X ) 是Y 的一个连通子集. (10 分)3、设 X 是 Hausdorff 空间， f : X  X 是连续映射.证明 A {x X | f (x)  x}是 X的闭子集. (10 分)4、设 X 为非空集合，令T余可数A| A  X C,其中C为至多可数集试证：(1) X,T余可数是一个拓扑空间；(5 分)(2) 若 X 不可数，X,T余可数是连通空间；(5 分)(3) X,T余可数为T1但非T2 空间；(5 分)(4) X,T余可数即证 X 的任一个开覆盖有至多可数覆是 Lindelӧff 空间(提示：盖)。(5 分)大学拓扑学考试试卷参考答案（A）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题...