二次函数根的分布专题

一元二次方程根的分布专题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0) 的两个不等实根为 x1， x2  b 2  4ac  0bx  x   0①方程有两个不等正根x1  0, x2  0 12acx x  012ac②方程两根一正一负 ： x1  0  x2，则 0a  b 2  4ac  0b③方程有两个不等负根： x1  0, x2  0 x1  x2   0acx x  012a即时应用：2(m 1)x  2(m 1)x  m  0 有两个不等正根，求 m 的取值范围。(1)若一元二次方程2(2) k 在何范围内取值，一元二次方程 kx  3kx  k  3  0 有一个正根和一个负根？精选文库二、一元二次方程的非零分布—— k 分布设一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0) 的两不等实根为 x1，x2 ， k 为常数。则一元二次方程根的 k 分布（即 x1， x2 相对于k 的位置）如下表所示：根的分① x1x2k② kx1x2③ x1kx2布图象kkk00充要bkb条2a2akf k0件f k0f k0根的④ k1x1x2k2⑤ k1x1k2x⑥两根有且仅有一根在2k3分k布1,k2 内图象k2k1k2k1k2k3k1f k1f k200f kf (k1)0充10要f kf (k1)0或20kbk条f (k01k22)12a2件kb12ak2f (k3)0f (k2)0或 k1k2b22ak2--2精选文库即时应用：(1) 若方程 4 x 2+(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1，则求 m 的取值范围.(2) 方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1，一个根小于 1，求 p 的取值范围.二、典型例题2例 1 若一元二次方程 kx  (2k 1)x  k  3  0 有一根为零，则另一根是正根还是负根？例 2 若方程 x2  (k  2)x  4  0 有两负根，求 k 的取值范围.例 3..若关于 x 的方程 x2  (k  2)x  2k 1  0...