初中几何模型与解法--瓜豆原理

初中几何模型与解法一一瓜豆原理例 1、如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP, Q 为 AP 中点.当点 P 在圆 0 上运动时，Q 点轨迹是什么？点 Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 0 有什么关系？【分析】考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO,取 AO 中点 M,则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，根 据三角形的中位线性质，半径 MQ 是 0P 一半，任意时刻，均有△AMQs^AOP, QM:PO=AQ:AP=1:2.【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A、Q、P 共线可得：A、M、O 三点共线，由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO. Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放.例 2、如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP,作 AQ_L AP 且 AQ=AP.当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90。得 AQ,故 Q 点轨迹与 P 点轨迹 都是圆.接下来确定圆心与半径.【分析】考虑 APJ.AQ,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMJ_ AO；考虑 AP=AQ,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO,且可得半径 MQ=PO.即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APOgZk AQM.例 3、如图，Z\APQ 是直角三角形，NPAQ=90。且 AP=2AQ,当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是?【分析】考虑 APJ_AQ,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMJ_AO：考虑 AP:AQ=2:1,可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1.即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APOs4AQM,且相似比为 2.【模型要素】为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”.【条件】两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ 是定值）： 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也 等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.思考 1如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP,以 AP 为一边作等边△APQ.考虑：当点 P 在圆 0 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1） ZPAQ=60°： （2） AP=AQ,故 Q 点轨迹是个圆：考虑 NPAQ=60。，可得 Q 点轨迹圆...