同济大学高等数学教案无穷级数

高等数学教学教案第一章函数、连续与极限授课序号 01教学基本指标教学课题第八章 第一节常数项级数的概念与性质教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学重点几何级数和 p 级数课的类型复习、新知识课教学手段黑板多媒体结合教学难点无穷级数概念和性质作业布置课后习题参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》大纲要求理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数和 p 级数的收敛性教学基本内容一、基本概念：定义 1 设有数列un，n 1,2, ，将数列n 1,2, un中的各项用加号连接的形式u1  u2  un 称为常数项无穷级数，简称级数，记为（通项）.定义 2对数列u1,u2,u3,un1n ，其中  是求和记号，称为下标变量，第n 项称为级数的一般项un,n，取它的前n 项的和Sn  u1  u2  u3  un   ui ，i1Sn 称为级数的部分和（前n 项之和）.定义 3 若级数的部分和数列Sn有极限S ， 即lim Sn  S ，则称无穷级数nun1n 收敛，这时，极限S 就1叫做无穷级数un1n 的和，并写成un1n  S ；若数列Sn没有极限，则称无穷级数un 发散.n1二、定理与性质：收敛级数的基本性质性质 1 若级数un1n 收敛，其和为s ，则对任何常数k ，级数kun1n 收敛，且其和为ks ，即kun1n  kun.n1性质 2 若级数un1n ， vn 1nn 分别收敛于s 和t ，即un1n  s,vn1 t,则级数un1n  vn也收敛，其和为s  t ，即有un1n  vn u  v .n1nn1n推论 若k  0 ，则级数an 与kan 具有相同的收敛性；若级数an ，bn 一个收敛一个发散，则n 1n 1n 1n 1级数an 1n  bn一定发散.性质 3(级数收敛的必要条件) 如果级数un1n 收敛，则limun  0 .n推论 如果当n  时，级数的一般项un不趋于零，那么级数发散.性质 4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性.2推论 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.三、主要例题：例 1 讨论级数(等比级数)n0aqn  a  aq  aq 2  aqn a  0的收敛性.例 2 证明级数11++1  22  3是收敛的.例 3判定级...