第三章,微分方程模型VIP专享

1 第三章 微分方程建模 在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力加速度 g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。 § 3 .1 几个简单实例 例 3 .1 （理想单摆运动的周期） 本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。 （图3-1） 从图3-1 中不难看出，小球所受的合力为 sinm g，根据牛顿第二定律可得： sinm gm l 从而得出两阶微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl  （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。 （3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识，当θ 很小时，有 sinθ ≈θ ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程： 2 0)0(,0)0(0lg （3.2） （3.2）的特征方程为 02 lg 对应的特征根为 ilg，（其中i为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： tctctcossin)(21，其中 lg 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解 θ (t)= θ 0cosω t 注意到当4Tt时，θ (t) = 0，即可得出 24Tlgt 故有 lgT2 这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。 例 3 .2 （交通管理中的黄灯问题） 在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲...