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第二数学归纳法

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第9 讲 数学归纳法与第二数学归纳法 一.知识解读: 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位. 1.数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 ①当0nn (Nn0)时,)(nP成立; ②假设),(0Nknkkn成立,由此推得1 kn时,)(nP也成立,那么,根据①②对一切正整数0nn 时,)(nP成立. (2)第二数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 ①当0nn (Nn0)时,)(nP成立; ②假设),(0Nknkkn成立,由此推得1 kn时,)(nP也成立,那么,根据①②对一切正整数0nn 时,)(nP成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当ln,,3,2,1时,)(,),3(),2(),1(lPPPP成立, ②假设kn 时)(kP成立,由此推得lkn时,)(nP也成立,那么,根据①②对一切正整数1n时,)(nP成立. (2)反向数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 ①)(nP对无限多个正整数n 成立; ②假设kn 时,命题)(kP成立,则当1 kn时命题 )1( kP也成立,那么根据①②对一切正整数1n时,)(nP成立. 3.应用数学归纳法的技巧 (1)起点前移:有些命题对一切大于等于1 的正整数正整数n 都成立,但命题本身对0n也成立,而且验证起来比验证1n时容易,因此用验证0n成立代替验证1n, 同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步,有意前移起点. (2)起点增多:有些命题在由kn 向 1 kn跨进时,需要经其他特殊情形作为基础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点. (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也应相应增多. (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设kn 时命题成立”不可,需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用. (5)变换命题:有些命题在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明. 5.归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的,这种不严格的推理方法称为不完全归纳法.不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其正确与否 ,...

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