第二数学归纳法

第9 讲 数学归纳法与第二数学归纳法 一．知识解读： 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0nn （Nn0）时，)(nP成立； ②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn 时，)(nP成立． （2）第二数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0nn （Nn0）时，)(nP成立； ②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn 时，)(nP成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当ln,,3,2,1时，)(,),3(),2(),1(lPPPP成立， ②假设kn 时)(kP成立，由此推得lkn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立． （2）反向数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 ①)(nP对无限多个正整数n 成立； ②假设kn 时，命题)(kP成立，则当1 kn时命题 )1( kP也成立，那么根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1 的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，因此用验证0n成立代替验证1n， 同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点． （2）起点增多：有些命题在由kn 向 1 kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点． （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多． （4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn 时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用． （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 5．归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否 ，...