第二章导数与微分练习题及习题详细解答

1 第二章 导数与微分 练习题及习题详细解答 练习题2 .1 1．已知质点作直线运动的方程为23st，求该质点在5t 时的瞬时速度． 解 由引例2.1 可知，质点在任意时刻的瞬时速度d2dsvtt．代入5t ，得10v ． 2．求曲线cosyx在点π3(,)62处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cosyx在π3(,)62点切线的斜率 ππ661(cos )( sin )2xxkxx  ， 所以，切线方程为31π()226yx ，即6126 3π=0xy． 法线方程为3π2()26yx，即1263 32π=0xy． 3．讨论函数32,0( )31, 013,1xf xxxxx在0x 和1x处的连续性与可导性． 解 在0x 处，00lim( )lim 22xxf x，00lim( )lim(31)1xxf xx ， 由于00lim( )lim( )xxf xf x，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x 处，11lim( )lim(31)4xxf xx，311lim( )lim(3)4xxf xx，(1)4f， 所以连续． 又00(1)(1)3(1)limlim3xxfxfxfxx   ， 2300(1)(1)33()()(1)limlim3xxfxfxxxfxx     ， 所以可导． 2 4．已知函数( )f x 在点0x 处可导，且0()fxA，求下列极限： 000(5)()(1)limxf xxf xx  ； 000(2 )()(2)limhf xhf xh 解 （1）0000000(5)()(5)()55()55limlimxxf xxf xf xxf xfxAxx        ; (2) 0000000(2 )()(2 )()22()22limlimhhf xhf xf xhf xfxAhh． 5．求抛物线2yx上平行于直线43yx 的切线方程． 解 由于切线平行于43yx ，所以斜率为4k   ．又2kyx，所以2x   ． 对应于抛物线上的点为( 2,4)，所以切线方程为44(2)yx ，即440xy． 练习题 2 .2 1．求下列函数的导数： （1）100(21)yx； （2） 22e xxy； （3）sin(3π)yx； （4）2cosyx； （5）2esinxyx； （6）2ln(1)yx； （7）tan 2yx； （8）cot3yx； （9）arctan(31)yx； （10）arcsin(41)yx． 解 （1）9999100(21) (21)200(21)yxxx； （2）22222e(2)e(41)xxxxyxxx...