第五章结构的强迫振动响应分析

1 第五章 结构的强迫振动响应分析 § 5 .1 概述 如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。 § 5 .2 求解强迫振动响应的直接积分法 对动力学基本方程 )}({}]{[}]{[}]{[tPUKUCUM （5 －1 ） 进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。这样做的实质是基于如下考虑： （1 ） 只在相隔t 的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻 t上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。 （2 ） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t 内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。 首先，设}{}{}{000UUU表示初始时刻（0t）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0t到Tt 的解，则把时间段T 均分为 n 个间隔 nTt/，所用的积分是在Ttt,2,上求方程的近似解。即要在ttt,2,的解已知的情况下，求解tt时刻的解。 【中心差分法】 若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。 2 } ){}({21}{} ){}{2}({1}{2tttttttttttUUtUUUUtU （5 －2 ） 假定}{tU 及前一时刻的位移}{ttU已经求得，则将}{tU}{tU代入方程（5 －1 ）得到： }]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222ttttttUCtMtUMtKPUCtMt （5 －3 ） 由此式求出}{ttU 上述格式是一个显式格式。 具体计算时，还有一个步进递推格式启动的问题，即}{}{}{000UUU已知时，}{tU的求解问题。由}{tU}{tU的差分表达式，可求出： }{2}{}{}{0200UtUtUUt （5 －4 ） 中心差分法的具体步骤为： 1 ． 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M、阻尼矩阵][C 2 ． 计算...