微分方程讲义VIP专享

课程安排：2 学期，周学时 4,共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课、复习、作业本次课题（或教材章节题目）：第七章微分方程第一讲微分方程的基本概念教学要求：微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。重点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念难点：微分方程的概念；微分方程阶的概念教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1复习 15 分钟2微分方程的问题举例 30 分钟3微分方程概念以及阶数练 45 分钟课后作业参考资料(1定积分的概念与性质一、复习导数和高阶导数的概念二、微分方程问题举例及引出函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究•因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义•在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式•这样的关系就是所谓微分方程•微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程.例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为 y=y(x)•根据导数的几何意义,可知未知函数 y=y(x)应满足关系式(称为微分方程)dy=2x•dx此外，未知函数 y=y(x)还应满足下列条件：x=1 时,y=2,简记为 ylx=]=2.把(1)式两端积分，得(称为微分方程的通解)y=J2xdx，即 y=x2+C,其中 C 是任意常数.把条件“x=1 时,y=2”代入⑶式，得2=12+C,由此定出 C=1•把 C=1 代入(3)式，得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 ylx=1=2 的解)：y=x2+1.例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米•根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式竽=-0.4.(4)dt2此外，未知函数 s=s(t)还应满足下列条件：dst=0 时,s=0,v=丁=20.简记为 sio=0,s，l0=20.dtt=0t=0把(4)式两端积分一次，得v=—=—0.4t+C;dt1再积分一次，得s=—0.2t2+qt+C2,这里 C1,C2都是任意常数.把条件 v|t=o=2O 代入(6)得20=C1;把条件 s11=0=0 代入⑺得 0=C2.把 C],C2的值代入(6)及⑺式得v=—0.4t+20,(8)s=—0.2t2+20t.(9)在(8)式中令 v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间匸 04=50⑸.=再把 t=50 代入(9)，得到...