求异面直线所成的角求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解,这是高二数学人教版(B)倡导的方法,下面举例说明两种方法的应用。例:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角。解法 1:平移法设 A1C1 与 B1D1 交于 O,取B1B 中点 E,连接OE,因为OE//D1B,所以∠C1OE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角△C1OE 中15A1C1 22113OE BD1 22 22 1 222OC1 222C E B C B E 1 1 211112OC1 OE 2 C1E 2所以cosC1OE 2OC1 OE225 3 2 2 532225 52 225所以C1OE a r c c o s5所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos55图 1解法 2:补形法在长方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 BC1上补上一个同样大小的长方体,将 AC 平移到 BE,则∠D1BE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角,在△BD1E 中,BD1=3,BE 5 ,D1E 42 22 2 5BD1 BE 2 D1E 2cosD1BE 2BD1 BE 32 552 5 2 5222 35 所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角为arccos55图 2解法 3:利用公式cos cos1 cos2设 OA 是平面α 的一条斜线,OB 是 OA 在α 内的射影,OC 是平面α 内过 O 的任意一条直线,设OA 与 OC、OA 与 OB、OB 与 OC 所成的角分别是 、1、2,则cos cos1 cos2 (注:在上述题设条件中,把平面α 内的 OC 换成平面α 内不经过 O点的任意一条直线,则上述结论同样成立)D1B 在平面 ABCD 内射影是 BD,AC 看作是底面 ABCD 内不经过 B 点的一条直线,BD 与 AC 所成的角为∠AOD,D1B 与 BD 所成角为∠D1BD , 设D1B与AC所 成 角 为 , cos cos D1BD cos AOD,cos D1BD BD5BD15 。OD2 OA 2 AD2cosAOD 2OD OA5 5 12 2 2 3 55...