Kxlmra高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 等比数列的前n 项和·例题解析 【例 1】 设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q． 解 由 Sn=80，S2n=6560，故 q≠1 aqqaqqnn()()11112= 80= 6560 q= 81n①②③ a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为an． ∴an=aqn-1=54 ④ 将③代入①化简得 a=q－1 ⑤ ③④ 化简得⑥3a = 2q 由⑤，⑥联立方程组解得 a=2，q=3 【例2】 求证：对于等比数列，有＋＋．SS= S (SS )n22n2n2n3n 证 Sn=a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn-1 S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋„＋a1q2n-1) =Sn＋qn(a1＋a1q＋„＋a1qn-1) =Sn＋qnSn =Sn(1＋qn) 类似地，可得 S3n=Sn(1＋qn＋q2n) ∴＋＋＋＋S +S= S[S (1q )]= S (22qq)n22n2n2nn2n2n2n S (SS ) = S [S (1q )S (1qq)]= S (22qq)SS= S (SS )n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋ 说明 本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n 与Sn 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例3 】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析 设等比数列为{an}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解 设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． ∴①②aqqa qqqnn1221221111()()= 85= 170 ①② 得：把代入①得∴q = 2q = 2= 85 4 = 256 n = 4n1414n 即公比为2，项数为8． 说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时，对公比q 要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的． 【例4 】 选择题：在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，有Sn=2n － ，则＋＋„＋等于1aaa1222n2 [ ] A (21)B(21)C21D(41)n2n2nn．－．－．－．－1313 解 D． a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1 ∴bn=(an)2=(2...