竞赛复习科目：数学竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习高中数学竞赛总复习((一）一）复习内容：高中数学第三章-数列编写时间:2００5-5修订时间:总计第一次２005－5一、数列专题(一)数列常见题型形式．一、以极限为载体，考查等比数列中当>1时，等比数列极限不存在．当<1时，等比数列极限存在.若等比数列和的极限存在，则一定有<1.当数列的极限存在是,则.1.设为等差数列,为等比数列，且（a1＜ａ２）,又,试求的首项与公差.２.数列由下列条件确定：.若数列的极限存在，且大于零,求的值.二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比与分比定理．例:等比数列的公比是．三、求参数最值通常考虑判别式法.1．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过10０，这样的数列至多有项.四、若以集合形式出现,常常题目要隐藏其集合的包含与被包含关系.1．若和分别表示数列和前项和,对任意正整数，.设集合.若等差数列的任一项是中的最大数，且<＜，求的通项公式．（二）求常见数列的方法.一、求数列的通项．I.形如的一阶递归式,其通项求法为．II.形如的递归式，其通项求法为.注意：①形如当数字特殊时可考虑转化为的形式,再叠乘可求出通项.②形如常需要转化为或.例如:有有有.１.数列确定,求通项.2.在数列中，，且，求.ＩIＩ.形如的递归式，有方法一,两式相减得，故是首项为,且公比为的等比数列，先求出,再求出．有方法二转化等比：.有方法三：迭代法…＝有公式，由确定．有方法四：特征根方法．IV．形如的递推式，有方法一两边同除以，得,令，则,仿2求得,再求．有方法二递推法．例如:当为一次函数时与相减有仿ＩII.可求出．１．已知数列,中,且(1)求;（２)求.V.形如或的递推式,方法一两边取对数有,令，则，仿4求得,再求.方法二有1.在数列中,,且,求２.数列满足,求通项．VI.高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为,则我们可用构造新数列使，最后.高阶等差数列:给定一个数列，令，则称数列为的一阶差数列，而的一阶差数列称为的二阶差数列,递推地,可以定义的阶差数列.如果数列的阶差数列是一非零常数列，则称数列是阶等差数列．=1时,数列就是我们通常所说的等差数列，时,数列称为高阶等差数列.数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式.例如：数列2、4、7、11、1６……经观察发现成等差,故令.进而有.１．求数列:1，3,8,20，4３，81，…的一个通项表达式.ＶII.不动点法：设数列满足.①若有两个不相等的不动点,则数列是等比数列,可用来求.②若有两个相等的不动点,则数列是等差数列，公差d可用,来求．注:形如亦可用不动点法．证明：令，即,令此方程的两个根为x1,x2，若x1=x2，则有其中k可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=．若x1≠ｘ２则有其中ｋ可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。注:如果有能力，可以将q的表达式记住，q=．１.设满足求通项.２.数列满足求．VIII.裂项法:常见的有等.1.数列满足，且,求.IＸ.取倒法：常用于对复杂分式转化为或等等常见数列形式.1．在数列中，,,求．X.换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列.最重要的是三角换元法的应用.１.已知数列的前项和与之间满足，且，求.2．已知数列中，，求通项.3．数列满足且求通项．4．设正数列满足,且,求.５.已知数列满足，求.二、求数列的和.I．求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要与二项式定理联系(能够用错位相消法求和的数列问题,都可以用求导方法去做)．１.已知,求数列的前项和.2．已知,求数列的前项和.3.求和.II.形如时，则求和变为当为偶,-与+恰好抵消完;当为奇数时，剩一个-,故或.1.已知是由非负整数组成的数列，满足①求;②证明③求的通项公式及其前项和.三、周期数列.1.设数列定义求.2．设数列满足,且对任意自然数都有又，则的值是.【200５高中数学联赛预测】1．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有项.2.设数列满足.(1)当时，求,并由此猜想出的一个通项公式;（2）当时，证明对所...
