《高等代数》第一章多项式

第一章 多项式 §1 数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母 Q、R、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数集 P对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称为一个数域. 例 1 所有具有形式 2ba  的数（其中ba, 是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q来表示这个数域. 例 2 所有可以表成形式 mmnnbbbaaa1010 的数组成一数域，其中mn,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,mjnibaji是整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分. §2 一元多项式 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 0111axaxaxannnn, (1) 其中naaa,,,10全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中，ii xa称为i 次项，ia 称为i 次项的系数.以后用),(),(xgxf或,, gf等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式)(xf与)(xg中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(xf与)(xg就称为相等，记为)()(xgxf. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在（1）中，如果0na，那么nnxa称为多项式（1）的首项 ，na 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(xf的次数记为))((xf. 二、多项式的运算 设 0111)(axaxaxaxfnnnn 0111)(bxbxbxbxgmmmm 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 niii xaxf0)( mjjj xbxg0)( 在表示多项式)(xf与)(xg的和时，如mn ，为了方便起见，在)(xg中令011...