《高等数学》各章知识点总结——第1章

第1 章 函数与极限总结 1、极限的概念 （1）数列极限的定义 给定数列{xn} ，若存在常数a ，对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数N  使得对于 n >N 时的一切 n 恒有 |xna |<则称 a 是数列{xn} 的极限 或者称数列 {xn} 收敛于 a  记为 axnnlim或 xna (n) （2）函数极限的定义 设函数f(x)在点 x0 的某一去心邻域内（或当0xM）有定义，如果存在常数A 对于任意给定的正数 (不论它多么小) 总存在正数（或存在 X） 使得当 x 满足不等式0<|xx0|时（或当 xX时） 恒有 |f(x)A|  那么常数A 就叫做函数f(x)当0xx（或 x  ）时的极限 记为 Axfxx)(lim0或 f(x)A(当 xx0)（ 或lim( )xf xA） 类似的有：如果存在常数A对0,0,当00:x xxx（00xxx）时，恒有( )f xA，则称 A 为( )f x 当0xx时的左极限（或右极限）记作00lim( )(lim( ))xxxxf xAf xA或 显然有000lim( )lim( )lim( ))xxxxxxf xAf xf xA 如果存在常数A对0,0,X当()xXxX 或时，恒有( )f xA，则称 A 为( )f x 当 x   （或当 x   ）时的极限 记作 lim( )(lim( ))xxf xAf xA或 显然有lim( )lim( )lim( ))xxxf xAf xf xA 2、极限的性质 （1）唯一性 若axnnlim，limnnxb，则ab 若0()lim( )xxxf xA0()lim( )xxxf xB，则 AB （2）有界性 （i）若axnnlim，则0M使得对,n N 恒有nxM （ii）若0lim( )xxf xA，则0M当0:0xxx时，有( )f xM （iii）若lim( )xf xA，则0,0MX当xX时，有( )f xM （3）局部保号性 （i）若 axnnlim且0(0)aa或则NN ，当nN时，恒有0(0)nnxx或 （ii）若0lim( )xxf xA，且0(0)AA或，则0当0:0xxx时，有 ( )0(( )0)f xf x或 3、极限存在的准则 （i）夹逼准则 给定数列{ },{ },{ }nnnxyz 若①0,nN 当0nn时有nnnyxz ②limlimnnnnyza， 则limnnxa 给定函数(...