一阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1 一阶常微分方程组的首次积分 1 .1 首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程  1,,'',',nnyyyxfy， （ 1 .1 ） 在变换 1'12,,,,nnyy yyyy （ 1 .2 ） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 1112221212,,,,,,,,,,,,,,.nnnnndyfx yyydxdyfx yyydxdyfx yyydx （ 1 .3 ） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1 .3 ）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1 .3 ）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1 .3 ）的问题。先看几个例子。 例 1 求解微分方程组 22221,1.d xd yyxxyxyxyd td t  （ 1 .4 ） 解：将第一式的两端同乘 x ，第二式的两端同乘 y ，然后相加，得到 12222yxyxdtdyydtdxx， 222222112 dxyxyxyd t  。 这个微分方程关于变量t 和22xy是可以分离，因此不难求得其解为 1222221Ceyxyxt ， （ 1 .5） 1C 为积分常数。（ 1 .5）叫做（ 1 .4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端, ,V x yt 作为x，y，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当( ),( )xxtyy t时微分方程组（ 1.4）的解时，, ,V x yt才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘 y，第二式两端同乘 x，然后用第一式减去第二式，得到 22yxdtdyxdtdxy， 即 22yxdtdxydtdyx， 亦即 1arctandtxyd。 积分得 2a r c t a nCtxy， （ 1.6） 其中2C 为积分常数。 利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。为此，采用极坐标cos ,sinxryr，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得 212211,.teCtCr...