三角函数的化简与证明

1 第35课 三角函数的化简与证明 ●考试目标 主词填空 1.三角函数式的化简要求及常规方法 化简就是使式子最简,即:能求值的应求值；次数最低，项数最少，三角函数种类最少，将高级运算表为低级运算； 化简的常规方法有：直用公式，逆用公式，变用公式，切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次. 2.三角恒等式的证明 常用的方法有:化繁为简，左右归一，变更等式，化异为同，异角化同角，异名化同名. 3.条件等式的证明 认真解读条件与结论，发现已知条件和待定等式之间的关系，选择适当的途径和机会把条件等式用上去! ●题型示例 点津归纳 【例1 】 化简下列各式 (1)2232cos21212121; (2)42sin42costan5312sin2cos2tan31xxxxxx; (3)sec2280°－3csc2280°. 【解前点津】 (1)利用升次公式,去掉开方符号. (2)可使用换元化简，令 t=tanx. (3)化割为弦. 【规范解答】 (1) cos|cos|2cos2121,223, 又 2sin,2sin|2sin|cos2121,243原式. (2)令 t=tanx,则原式=41811531121)1(231222222tttttttttt =xtttttttttt2sec212)1()1)(53()1)(51()1)(31()1()31(2222. 2 (3)原式=csc210°－3sec210°=(csc10°+3 sec10°)·(csc10°－3 sec10°) =20sin)1030sin()1030sin(1610cos10sin10sin310cos10cos10sin10sin310cos2 =32cos20°. 【解后归纳】 切割化弦，巧用换元,都是常规方法. 【例 2 】 证明:cos3α +sin3α +cos4α －sin4α =2cos24sin4cos2422. 【解前点津】 左右两边结构都较复杂，可同时化简，左、右归一. 【规范解答】 左边=(cosα +sinα )·(cos2α －cosα ·sinα +sin2α )+(cos2α +sin2α )·(cosα +sinα )·(cosα －sinα )=(cosα +sinα )·(1－cosα sinα +cosα －sinα )=(cosα +sinα )·(1+cosα )(1－sinα ) 右边=2cos122cos1sin4sincos4cos24 )s i n( c o s ·(1－sinα )·(1+cosα ),∴左边=右边，等式成立. 【解后归纳】 若被证明的等式两边都很复杂，则同时化简，双营齐下，是左、右归一的必然途径. 【例 3 】...