三角形垂心的性质总结 山西省原平市第一中学 任所怀 三角形的垂心定理：在三角形ABC 中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作BE于点E，CFAB 于点F，且BE 交CF 于点H，连接AH 并延长交BC 于点D。现在我们只要证明ADBC 即可。 因为CFAB，BE 所以 四边形BFEC 为圆内接四边形。 四边形AFHE 为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB 得 四边形AFDC 为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即ADBC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理1： 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图，在三角形ABC 中，AD、CF、BE 分别为BC、AB、AC 上的高，D、F、E 分别为垂足，H 为三角形ABC 的垂心。求证：H 为三角形DFE 的内心。 证明：要证H 为三角形DFE 的内心，只需证明HF、HE、HD 分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由 BCEF 四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧 CE 所对的圆周角） 由 HFBD 四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧 HD 所对的圆周角） 所以∠EFH=∠HFD 所以 HF 平分∠EFD。 同理 HE 平分∠FED；HD 平分∠FDE 所以H 为三角形DFE 的内心。 点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形，你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示： 在 中，若点O 满足，则点O 为三角形ABC 的垂心。 证明：由得，所以。 同理 OB，，则点 O 为垂心。 三角形垂心性质定理 2： 若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 证明：设点 O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得 因 为的 三 个 顶 点 都 在 函 数的 图 象 上 ，所以设， 因为，所以 所以 所以 (1) 同理：由得 (2) 联立（1）（2）两式，就可解出 显然有垂心 O 在函数的图象上。 点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。 （2005 年全国一卷理科）的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，，则实数 m = 分析：H 显然为 的垂心，我们可取特殊情况来猜想m 的值。于是我取 为直角三角形，角 A 为直角，此时 H 点与 A 点重合，且 O 为BC 的中点（如图所示）。此时，于是猜想m=1. 而对于一般情况，上面问题，我...
