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三角形垂心的性质总结

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三角形垂心的性质总结 山西省原平市第一中学 任所怀 三角形的垂心定理:在三角形ABC 中,求证:它的三条高交于一点。 证明:如图:作BE于点E,CFAB 于点F,且BE 交CF 于点H,连接AH 并延长交BC 于点D。现在我们只要证明ADBC 即可。 因为CFAB,BE 所以 四边形BFEC 为圆内接四边形。 四边形AFHE 为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB 得 四边形AFDC 为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即ADBC。 点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理1: 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图,在三角形ABC 中,AD、CF、BE 分别为BC、AB、AC 上的高,D、F、E 分别为垂足,H 为三角形ABC 的垂心。求证:H 为三角形DFE 的内心。 证明:要证H 为三角形DFE 的内心,只需证明HF、HE、HD 分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由 BCEF 四点共圆得∠EFC=∠EBC (都是弧 CE 所对的圆周角) 由 HFBD 四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC (都是弧 HD 所对的圆周角) 所以∠EFH=∠HFD 所以 HF 平分∠EFD。 同理 HE 平分∠FED;HD 平分∠FDE 所以H 为三角形DFE 的内心。 点评:以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形,你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示: 在 中,若点O 满足,则点O 为三角形ABC 的垂心。 证明:由得,所以。 同理 OB,,则点 O 为垂心。 三角形垂心性质定理 2: 若三角形的三个顶点都在函数的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。 证明:设点 O(x,y)为的垂心,则上面的向量表示得 因 为的 三 个 顶 点 都 在 函 数的 图 象 上 ,所以设, 因为,所以 所以 所以 (1) 同理:由得 (2) 联立(1)(2)两式,就可解出 显然有垂心 O 在函数的图象上。 点评:此题恰当地应用了垂心的向量表示,把几何问题转化成了代数问题,完美体现了数形结合的数学思想。 (2005 年全国一卷理科)的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,,则实数 m = 分析:H 显然为 的垂心,我们可取特殊情况来猜想m 的值。于是我取 为直角三角形,角 A 为直角,此时 H 点与 A 点重合,且 O 为BC 的中点(如图所示)。此时,于是猜想m=1. 而对于一般情况,上面问题,我...

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