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不等式的概念和基本性质

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不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>bbb,b>ca>c （３）a+bba+c>b+c （４）a>b ２．不等式的运算性质 （１）加法法则：a>b,c>da+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>da-d>b-c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0 （４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0 （５）乘方法则：a>b>0,an>bn>0 (n∈N, n≥2) （６）开方法则：a>b>0,>>0 (n∈N, n≥2) ３．基本不等式 （１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0 时取等号） （２）a,b∈R,a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时取等号） （３）a,b∈R+,≥ （当且仅当a=b 时取等号） （４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc （当且仅当a=b=c 时取等号） （５）a,b,c∈R+,≥ （当且仅当a=b=c 时取等号） （６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。 例１．对于实数 a,b,c判断以下命题的真假 （１）若 a>b, 则acbc2, 则a>b; （３）若aab>b2; （４）若a|b|; （５）若a>b, > , 则a>0, b<0． 解：（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 （３）因为 所以a2>ab ① 又 所以ab>b2 ② 综合①②得a2>ab>b2 故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题． （５）因为 所以 所以 从而ab<0 又因a>b 所以a>0, b<0． 故原命题为真命题． 例２．已知f(x )=ax 2-c 且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围． 解：由题意可知： ∴ ∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1) ∴运算可知 -1≤f(3)≤20 错解：依题设有 ① 消元，得 ② f(3)=9a-c ∴-7≤f(3)≤26 错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范围，同向不等式在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性． 例３．设a,b 是不相等的正数：A= , G= , H= , Q= , 试比较Ａ、Ｇ、Ｈ、Ｑ的大小． 解：由于a,b 为不相等的正数． 所以：G-H=-=- == =>0 从而 H0 从而G
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