数学史上的十个著名不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式） 设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数． 当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数． 当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数． 设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立． 平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一． 设，，…，是个正的变数，则 （1）当积是定值时，和有最小值，且 ； （2）当和是定值时，积有最大值，且 两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值． 在中，当 时，分别有 ， 平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立； （3），当且仅当时等号成立； （4），当且仅当时等号成立． 二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数，，…，；，，…，，有 ，其中等号当且仅当 时成立． 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是： （1），，则 （2） （3） 柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位． 三、闵可夫斯基不等式 设，，…，；，，…，是两组正数，，则 （ ） （ ） 当且仅当时等号成立． 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解． 若记，，则上式为 四、贝努利不等式 （1）设，且同号，则 （2）设 ，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有 ，上两式当且仅当时等号成立． 不等式（1）的一个重要特例是 （ ）． 五、赫尔德不等式 已知（ ）是个正实数，，则 上式中若令， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式． 六、契比雪夫不等式 （1）若，则 ； （2）若，则 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解． 如图，矩形OPAQ 中， ，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知）．于是有，也即 七、排序不等式 设有两组数，，…，； ，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立． 以上排序...
