两个平面垂直的判定和性质

1 两个平面垂直的判定和性质 知识要点 1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用． 2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题： (1)两条异面直线公垂线的存在性； (2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值； (3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内． 同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题． 典型题目分析 例 1 ．已知：如图，正方体，ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G 是 A1A、CD、BC 的中点。 求证：平面 BEF⊥平面 DGC1。 分析：确定 EF 在平面 D1DCC1 和 ABCD 上的射影，通过射影与 DC1 和 DG 的垂直，证明 EF 分别与 DC1 和 DG 垂直，从而推证 EF⊥平面 DGC1，即可证明平面 DEF⊥平面 DGC1。 证明：取D1D 中点 H，连结EH、HF。在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E、H、F 是 A1A、D1D、DC 中点， ∴EH⊥平面 D1DCC1，HF⊥DC1。 HF 是 EF 在面 D1DCC1 上的射影，∴EF⊥DC1。 连结AF，在 ΔADF 和 ΔDCG 中 AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°， G 是 BC 中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。 ∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。 EA⊥平面 ABCD，AF 是 EF 在平面 ABCD 上的射影，∴ EF⊥DG。 DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面 DGC1。 EF面 BEF， ∴平面 BEF⊥平面 DGC1。 2 点评：对难以观察的两个平面的垂直与否的判定，要紧扣定理，证明在一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。 例2．ΔABC 的边BCa，A 点在a 上的射影是A'，若ΔABC 面积为S，二面角A-BC-A'的大小是θ，则ΔA'BC的面积是_________。 分析：作ΔABC 的高AD，讨论AD、A'D 的关系。 解：如图所示，作ΔABC 的高AD，并连结A'D， 则由三垂线定理的逆定理可知A'D⊥BC， 所以∠ADA'就是二面角A-BC-A'的平面角，∠ADA'=θ。 在RtΔADA'中，A'D=ADcosθ，于是SΔA'BC=BC·A...