两线段和最小VIP专享

两线段和最小 求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质： 一、性质推导 例题：如图所示，在河岸 L 的一侧有两个村庄 A、B，现要在河岸 L 上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B 两村庄的距离之和最短？ 首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B 点关于 L 的对称点 B1, 在直线L 上任意定一点 M，连接 B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证 BM＝B1M， 所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。 在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点 B 到河岸 L 上任意点 M 的距离等于对称B1 到点 M 的距离。 要使 AM+ B1M 最小，必须使 A、M、B1 三点共线， 也就是说，必须使点 M，与 A B1 连线和L 的交点 N重合， 所以，河岸上的N点为到A、B 的距离之和最小的点。 证明：M 为L 上的任意点 因为BM＝B1M 所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM 大于B1A， 所以，结论成立 二、应用 1 ：在图（1）中，若 A 到直线 L 的距离 AC 是 3 千米，B 到直线 L 的距离 BD 是 1 千米，并且 CD 的距离 4 千米，在直线 L 上找一点P，使 PA+PB 的值最小。求这个最小值。 解：作出 A1B（作法如上图） 过 A1 点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于H， 在 Rt△A1BH 中，A1H=4 千米，BH=4 千米， 用勾股定理求得 A1B 的长度为4 2 千米， 即 PA+PB 的最小值为4 2 千米。 LNOB1BAM 2、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP 和MQ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。 解：如图（2），只要画出点Q 关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1 两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。 3、 求函数y=2610xx +2634xx的最小值。 解：方法（Ⅰ） LPA1ACBDH(5,5)(2,1)YXOQP123456-1-1123456(5,5)(2,1)YXMOQPQ1123456-1-1123456图（1） 图（2） 图（1） 把原函数转化为y=1)3(2 x +22(3)5x  ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小...