两 角 和 与差的余弦公式的六种推导方法 沈 阳 市 教 育 研 究 院 王 恩 宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点 P 作PM⊥x轴，垂足为M，那么 OM 即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示 OM． 过点 P 作PA⊥OP1，垂足为A，过点 A 作AB⊥x轴，垂足为B，再过点 P 作PC⊥AB，垂足为C，那么 cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说 明 ： 应 用 三 角 函 数 线 推 导 差 角 公 式 这 一方法简单明 了，构思巧妙，容易理解. 但这 种推 导 方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明 方法的另一个问题是公 式 是在均为锐角 的情况下进行的证明 ，因此还要考虑的角 度从锐角 向任意角 的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β 和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3 和P4 点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说 明 ： 该 推 导 方 法 巧 妙 的 将 三 角 形 全 等 和 两 点 间 的 距 离 结 合 在 一 起 ， 利 用 单 位 圆 上与 角有 关 的 四 个 点，建 立 起 等 式 关 系 ， 通 过 将 等 式 的 化 简 、变形 就可以得到符合 要求的 和 角 与 差角 的 三 角 公式 . 在 此种推 导 方 法 中， 推 导 思路的 产生是一 个 难点 ， 另外对于三 点 在 一 条直线和三 点 在 一 条直线上 时这一 特殊情况， 还需要加以解释、...
